Dla \(\displaystyle{ a,b,c\ge 0}\), takich że \(\displaystyle{ ab+bc+ca=3t^2}\), gdzie \(\displaystyle{ t\ge 0}\), znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
$$\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right).$$
[Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: [Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia
z mnożników Lagrange'a wyszło mi, że odpowiedź to \(\displaystyle{ (3t^2-1)^2}\) gdy \(\displaystyle{ t^2\ge 3}\) oraz \(\displaystyle{ (t^2+1)^3}\) gdy \(\displaystyle{ t^2<3}\)
,,ładny'' dowód w pierwszym przypadku może polegać na zauważeniu, że \(\displaystyle{ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2}\) oraz obserwacji, że przy \(\displaystyle{ t^2\ge3}\) istnieją \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające \(\displaystyle{ a+b+c=abc}\)
,,ładny'' dowód w pierwszym przypadku może polegać na zauważeniu, że \(\displaystyle{ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2}\) oraz obserwacji, że przy \(\displaystyle{ t^2\ge3}\) istnieją \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające \(\displaystyle{ a+b+c=abc}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 445 razy
Re: [Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia
Dzięki, to też mój wynik. Nie znam wprawdzie oficjalnego rozwiązania, ale tak sobie również wyobrażam zamysł autora zadania (P. Perfetti).
PS Zdradzisz, kto jest autorem nierówności z drugiej serii bieżącej OM?
Ukryta treść: