Funkcja kwadratowa zastosowania

[Niepokonana]

kolejne zadanie, które od dwóch tygodni mi nie idzie.
Kawałek tkaniny ma kształt trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2 m i 3 m. Aby uszyć prostokątną serwetę, krawcowa zamierza odciąć od niego dwa rogi. Jak powinna to zrobić, aby otrzymać serwetę o jak największej powierzchni?
Jak mi o tym mówili na innym forum to nie załapałam o co chodzi...

[a4karo]

A potrafisz to zrobić gdyby to był trójkąt 3x3?

[Niepokonana]

Eee, nie.
EDIT ja umiem zastosowania funkcji kwadratowej np. mnożenie xy, pitagorasa i w porywach podpobieństwo trójkątów... Nie wiem, jak to wszystko złączyć.

[a4karo]

Wsk. W przypadku trojkata równoramiennego prostokąty maja taki sam obwód

[Niepokonana]

Ale my mamy tylko jeden prostokąt. Krawcowa odcina z góry trójkąt i z boku i zostaje prostokąt. Mamy tu 2 mniejsze trójkąty w środku.
a prostokąta\(\displaystyle{ = 3-x}\)
b prostokąta\(\displaystyle{ =2-y}\)
czyli \(\displaystyle{ ab=(3-x)(2-y)}\)
Ale skąd ja mam wyliczyć y ja nie rozumiem.

[a4karo]

Masz jeszcze warunek wiążący te zmienne: punkt leży na przeciwprostokatnej

[Niepokonana]

Ale który punkt? W sensie ten z rogu leżącego naprzeciwko kąta prostego dużego trójkąta?
Wiem też, że przeciwprostokątna ma długość równą pierwiastek z 13.

[a4karo]

Słyszałaś kiedyś o układzie współrzędnych? Umieść przyprostokatne na osiach i napisz równanie przeciwprostokatnej

[Niepokonana]

Ej czekaj czekaj....
\(\displaystyle{ 2}\) dzielone na \(\displaystyle{ 2-y}\) to tyle samo co \(\displaystyle{ 3}\) dzielone na \(\displaystyle{ 3-x}\), co nie?
Ej, ja nie słyszałam ja wiem. Ale to będzie miało sinusy i cosinusy, co nie? Jak umieszczę bok długości \(\displaystyle{ 3}\) dołem to będzie \(\displaystyle{ 3-x}\), a jak bok długości \(\displaystyle{ 2}\) dołem to \(\displaystyle{ 2-x}\), tak?
Ake jak chcesz, żebym zrobiła sinusami i cosinusami, to muszę wiedzieć, który kąt ma \(\displaystyle{ 30}\) stopni a który \(\displaystyle{ 60}\).

[Niepokonana]

Proszę rozpisz mi to podobieństwo trójkątów.

[a4karo]

Nie wiem skąd Ci przyszły do głowy jakieś bzdury o sinusach i kosinusach. Kątów 20 i 30 stopni tam nie ma.

Jeżeli chcesz pomocy, to zrób to, co napisałem.

[Niepokonana]

Ale to musi być zrobione na podobieństwo trójkątów.
No mówię. Jak na osi x jest bok długości 2, to funkcja przeciwprostokątnej to \(\displaystyle{ f(x)=-x+2}\) a jak 3 jest na osi x to \(\displaystyle{ f(x)=-x+3}\).

[a4karo]

Nie

[Premislav]

Ale akurat wspomniane podobieństwo trójkątów to bardzo dobry pomysł, a Wy tu z jakimś układem współrzędnych. Tutaj to nie upraszcza w żaden sposób zadania, jest redundantne, a wprowadza zamieszanie, jak ktoś (było: „nikt", użyłem złego słowa, to cała zmiana w poście) nie robił zadań w stylu planimetrii za pomocą geometrii analitycznej.
Odcięte trójkąty w rogach będą podobne (cecha podobieństwa kąt, kąt, kąt). Powiedzmy, że z przyprostokątnej długości \(\displaystyle{ 3}\) odcinamy w rogu \(\displaystyle{ x}\), a z tej o długości \(\displaystyle{ 2}\) odcinamy \(\displaystyle{ y}\). Powstaje wówczas (z rzeczonego podobieństwa) zależność
\(\displaystyle{ \displaystyle{\frac{x}{2-y}=\frac{3-x}{y}}}\), czyli
\(\displaystyle{ xy=(2-y)(3-x)}\), a innymi słowy
\(\displaystyle{ 2x+3y=6\\\displaystyle{y=\frac{6-2x}{3}}}\)
i wobec tego
\(\displaystyle{ (3-x)(2-y)=(3-x)\left(2-\frac{6-2x}{3}\right)}\)
Uprość to i masz do zmaksymalizowania funkcję kwadratową jednej zmiennej.

Można pewnie też to zadanie zrobić czysto geometrycznie, ale nie umiem.

a tu ze średnich; nie patrz przed rozwiązaniem samodzielnym:    

Szukane pole to oczywiście \(\displaystyle{ (3-x)(2-y)}\). Skoro już wiemy, że
\(\displaystyle{ 2x+3y=6}\), to \(\displaystyle{ 6(3-x)(2-y)=(6-2x)(6-3y)\le \left(\frac{(6-2x)+(6-3y)}{2}\right)^2=9}\)
i równość zajdzie, gdy \(\displaystyle{ 6-2x=6-3y}\), czyli \(\displaystyle{ x=\frac 3 2 y}\), łącząc to z \(\displaystyle{ 2x+3y=6}\) widzimy, że będzie to dla \(\displaystyle{ x=\frac 3 2, \ y=1}\), a pole wynosi wtedy \(\displaystyle{ \frac 9 6=\frac 3 2}\)

[Niepokonana]

Dzięki Premislav, ja sama na to nie wpadłam, tylko temat zastosowania funkcji kwadratowej jest na podobieństwa trójkątów. Sprawdzę, jak uzyskam dostęp do mojego zeszytu