Cześć.
Witam serdecznie, to mój pierwszy post na forum, dlatego proszę o wyrozumiałość .
Niestety nie udało mi się znaleźć w dotychczasowych postach rozwiązania mojego problemu.
Proszę o pomoc w odnalezieniu uniwersalnego wzoru na długość linii zaznaczonych na czerwono na rysunku poniżej.
To wszystkie dane które posiadam, brakuje kąta żeby np. skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
Można obliczyć te długości, korzystając z równania okręgu \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem tego okręgu.
Poprowadźmy osie OX i OY układu współrzędnych przez środek tego okręgu tak, żeby przecinały boki tego kwadratu pod kątem prostym.
Wówczas (ładnie to widać z rysunku), promień okręgu wynosi \(\displaystyle{ r = \frac{125}{2} = 62,5}\)
A więc równanie tego okręgu w tym przypadku będzie wyglądać tak \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 62,5^2}\)
a więc \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 3906,25}\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ x^2 = 3906,25 - y^2}\)
A więc \(\displaystyle{ |x| = \sqrt{3906,25 - y^2} \ \ (1)}\)
Wówczas \(\displaystyle{ |x|}\) jest wartością bezwzględną argumentu \(\displaystyle{ x}\), dla którego okrąg przybiera pewną wartość \(\displaystyle{ y}\).
Na przykład
Masz zaznaczone na rysunku na niebiesko odcinek o długości 10. A więc (po dorysowaniu osi OX i OY układu współrzędnych tak, jak wyżej), \(\displaystyle{ y}\) wynosiłoby wówczas \(\displaystyle{ y = r - 10 = 62,5 - 10 = 52,5}\)
Podstawiając do wzoru (1), obliczamy \(\displaystyle{ |x|}\)
\(\displaystyle{ |x| = \sqrt{3906,25 - y^2} = \sqrt{3906,25 - 52,5^2} = \sqrt{62,5^2 - 52,5^2} =}\) \(\displaystyle{ = \sqrt{(62,5 + 52,5)(62,5 - 52,5)} = \sqrt{115\cdot 10} = \sqrt{1150} = \sqrt{25\cdot 46} = 5 \cdot \sqrt{46}}\)
(można oczywiście po prostu podnieść 52,5 do kwadratu zamiast stosować wzór skróconego mnożenia)
Teraz odejmując od długość promienia wartość \(\displaystyle{ |x|}\), dostajemy odległość tego czerwonego odcinka \(\displaystyle{ r - |x| = 62,5 - 5 \sqrt{46}}\)
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2019, o 10:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Symbol mnożenia to \cdot.
.
