Postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego

[Indifferentiable]

Podać postać różniczki dowolnego rzędu operatora liniowego z podzbioru \(\displaystyle{ \RR}\) w dowolną przestrzeń unormowaną \(\displaystyle{ Y}\).


Dla dowolnego operatora \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR^d}\) postać \(\displaystyle{ k}\)-tej różniczki w punkcie \(\displaystyle{ x}\) byłaby chyba taka:

\(\displaystyle{ d^kf_x(u) = \left[\begin{array}{c}f^{(k)}_1(x)\\f^{(k)}_2(x)\\ \ldots \\f^{(k)}_d(x)\end{array}\right] \cdot \prod_{i=1}^{k} u_i}\)

To wszystko co byłem w stanie wymyślić.

[MrCommando]

Pierwszy raz widzę określenie operatora liniowego na podzbiorze, a nie podprzestrzeni liniowej. Dziwnie to wygląda. Wydaje mi się, że coś może źle przepisałeś.

W każdym razie żeby powiedzieć coś więcej o postaci różniczki odwzorowania liniowego, sensownie jest założyć jeszcze jego ciągłość. Wtedy różniczką (pierwszego rzędu) takiego odwzorowania liniowego jest ono samo. Ale skoro różniczka pierwszego rzędu też jest odwzorowaniem liniowym ciągłym, to z drugą będzie tak samo. Zatem różniczką dowolnego rzędu odwzorowania liniowego i ciągłego jest ono samo.

[matmatmm]

Też mi się wydaje, że operator liniowy powinien być określony na podprzestrzeni. Inaczej kłóciło by się to z definicją liniowości.

Druga sprawa. Ciągłości zakładać nie trzeba, bowiem funkcja liniowa określona na przestrzeni skończenie wymiarowej jest zawsze ciągła.

I po trzecie (chyba najważniejsze) różniczka pierwszego rzędu jest taka sama w każdym punkcie (równa funkcji), co sprawia, że funkcja, która przyporządkowuje każdemu punktowi różniczkę w tym punkcie, jest stała, a co za tym idzie różniczka drugiego i każdego większego rzędu jest zerowa w każdym punkcie.

Dla dowolnego operatora \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR^d}\) postać \(\displaystyle{ k}\)-tej różniczki w punkcie \(\displaystyle{ x}\) byłaby chyba taka:

\(\displaystyle{ d^kf_x(u) = \left[\begin{array}{c}f^{(k)}_1(x)\\f^{(k)}_2(x)\\ \ldots \\f^{(k)}_d(x)\end{array}\right] \cdot \prod_{i=1}^{k} u_i}\)

To jest w porządku, ale w zadaniu masz dowolną przestrzeń unormowaną, więc zapewne chodzi o to co napisałem wcześniej.

[MrCommando]

I po trzecie (chyba najważniejsze) różniczka pierwszego rzędu jest taka sama w każdym punkcie (równa funkcji), co sprawia, że funkcja, która przyporządkowuje każdemu punktowi różniczkę w tym punkcie, jest stała, a co za tym idzie różniczka drugiego i każdego większego rzędu jest zerowa w każdym punkcie.

No tak, zdecydowanie racja. Coś głupotę napisałem.