dowód logarytm
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zalesie
- Podziękował: 1 raz
dowód logarytm
Niestety nie bardzo wiem jak zabrać się za to zadanko, mógłbym prosić o jakieś sugestie?
Pokaż, że jedyną liczbą naturalną n, dla której obie liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
są wymierne, jest liczba \(\displaystyle{ n = 1}\).
Pokaż, że jedyną liczbą naturalną n, dla której obie liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
są wymierne, jest liczba \(\displaystyle{ n = 1}\).
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zalesie
- Podziękował: 1 raz
Re: dowód logarytm
Czyli mam założyć, że każda liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), dla której liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
są wymierne, sa liczby \(\displaystyle{ n\ge 2}\)?
są wymierne, sa liczby \(\displaystyle{ n\ge 2}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: dowód logarytm
Nie. Założenie nie wprost mówi, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n\ge 2}\) taka, że liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\) są wymierne.
W sumie równie dobrze można ten dowód zrobić wprost, rachunek jest ten sam. Rozważ liczbę naturalną dodatnią \(\displaystyle{ n}\) taką, że \(\displaystyle{ \log_2n=\frac{p}{q}}\) i \(\displaystyle{ \log_3n=\frac{r}{s}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p,r\in\NN, q, s\in\NN^+}\) i zastanów się, co możesz z tych założeń wywnioskować o \(\displaystyle{ n}\).
JK
W sumie równie dobrze można ten dowód zrobić wprost, rachunek jest ten sam. Rozważ liczbę naturalną dodatnią \(\displaystyle{ n}\) taką, że \(\displaystyle{ \log_2n=\frac{p}{q}}\) i \(\displaystyle{ \log_3n=\frac{r}{s}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p,r\in\NN, q, s\in\NN^+}\) i zastanów się, co możesz z tych założeń wywnioskować o \(\displaystyle{ n}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zalesie
- Podziękował: 1 raz
Re: dowód logarytm
Korzystając z definicji logarytmu,
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} } = n}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ q > 0}\) i \(\displaystyle{ s > 0}\) i \(\displaystyle{ n=1}\), także \(\displaystyle{ p=0}\) i \(\displaystyle{ r=0}\)
\(\displaystyle{ 2^{0} = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{0} = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = n}\)
c.n.d?
Coś takiego?
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} } = n}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ q > 0}\) i \(\displaystyle{ s > 0}\) i \(\displaystyle{ n=1}\), także \(\displaystyle{ p=0}\) i \(\displaystyle{ r=0}\)
\(\displaystyle{ 2^{0} = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{0} = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = n}\)
c.n.d?
Coś takiego?
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: dowód logarytm
No skąd!
Najwyraźniej nie rozumiesz, co trzeba pokazać. To, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\) są wymierne jest oczywiste. Ty masz pokazać, że dla żadnego innego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) tak nie jest. Jeżeli chcesz to zrobić wprost, to powinieneś uzasadnić, że z równości \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\) i \(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} } = n}\) wynika, że \(\displaystyle{ n=1}\).
JK
Wcale tego nie wiemy - niby skąd?Szymon66 pisze:Wiemy, że (...) \(\displaystyle{ n=1}\), także \(\displaystyle{ p=0}\) i \(\displaystyle{ r=0}\)
Najwyraźniej nie rozumiesz, co trzeba pokazać. To, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\) są wymierne jest oczywiste. Ty masz pokazać, że dla żadnego innego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) tak nie jest. Jeżeli chcesz to zrobić wprost, to powinieneś uzasadnić, że z równości \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\) i \(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} } = n}\) wynika, że \(\displaystyle{ n=1}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zalesie
- Podziękował: 1 raz
dowód logarytm
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} }= n}\)
Skoro oba mają być równe \(\displaystyle{ n}\) to:
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)
Żeby \(\displaystyle{ L=P}\) dwa z \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) muszą być równe 0, a wiemy, że \(\displaystyle{ q, s > 0}\) także \(\displaystyle{ p , r = 0}\) zatem
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{0}{q} } = 3^{ \frac{0}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = 1 = n}\)
Tym razem?
\(\displaystyle{ 3^{ \frac{r}{s} }= n}\)
Skoro oba mają być równe \(\displaystyle{ n}\) to:
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)
Żeby \(\displaystyle{ L=P}\) dwa z \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) muszą być równe 0, a wiemy, że \(\displaystyle{ q, s > 0}\) także \(\displaystyle{ p , r = 0}\) zatem
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{0}{q} } = 3^{ \frac{0}{q} } = n}\)
\(\displaystyle{ 1 = 1 = n}\)
Tym razem?
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
dowód logarytm
Zdecydowanie lepiej, ale ten fragment
JK
wymagałby uzasadnienia.Szymon66 pisze:Żeby \(\displaystyle{ L=P}\) dwa z \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) muszą być równe 0,
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zalesie
- Podziękował: 1 raz
Re: dowód logarytm
Ponieważ w innym wypadku nigdy równość się nie spełni, a wynika to z faktu, że mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: dowód logarytm
Jeśli twierdzisz, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) z równości \(\displaystyle{ 2^x = 3^y}\) wynika, że \(\displaystyle{ x = y = 0}\), to jesteś w błędzie, bo na przykładSzymon66 pisze:mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\)
\(\displaystyle{ 2^{\log_2 5} = 3^{\log_3 5}.}\)
Takie wynikanie zachodzi przy założeniu, że \(\displaystyle{ x, y}\) są nieujemnymi liczbami wymiernymi, ale kontrprzykład w liczbach rzeczywistych wskazuje, że nie jest to trywialne, a zatem wymaga uzasadnienia.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zalesie
- Podziękował: 1 raz
Re: dowód logarytm
Nie operuję na liczbach rzeczywistych, \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) należą wszystkie do naturalnych.
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: dowód logarytm
No i właśnie na to w odpowiedni sposób powinieneś się powołać.Szymon66 pisze:Nie operuję na liczbach rzeczywistych, \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) należą wszystkie do naturalnych.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 19 sie 2019, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zalesie
- Podziękował: 1 raz
Re: dowód logarytm
Ponieważ w innym wypadku nigdy równość się nie spełni, a wynika to z faktu, że \(\displaystyle{ p,r\in\NN, q, s\in\NN^+}\)i mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta i podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\).
Ostatnio zmieniony 21 sie 2019, o 18:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: dowód logarytm
Nie rozumiem, jaką nową jakość to wnosi w porównaniu do poprzednich Twoich wypowiedzi.
Podnieś to \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\) po prostu stronami do potęgi \(\displaystyle{ qs}\) i np. wtedy jedna strona jest parzysta, a druga nie, co prowadzi do sprzeczności (no dla \(\displaystyle{ p,r\ge 1}\), może być jeszcze \(\displaystyle{ p=r=0}\)), a nie tam rękami machasz.
Podnieś to \(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\) po prostu stronami do potęgi \(\displaystyle{ qs}\) i np. wtedy jedna strona jest parzysta, a druga nie, co prowadzi do sprzeczności (no dla \(\displaystyle{ p,r\ge 1}\), może być jeszcze \(\displaystyle{ p=r=0}\)), a nie tam rękami machasz.
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: dowód logarytm
Niedobrze. To jest "argument" w stylu "tak jest, bo tak ma być".Szymon66 pisze:Ponieważ w innym wypadku nigdy równość się nie spełni, a wynika to z faktu, że \(\displaystyle{ p,r\in\NN, q, s\in\NN^+}\)i mamy z lewej strony podstawę parzysta, a z prawej strony nieparzysta
Dlaczego? Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{\frac{15}{33}}\ne 3^{\frac{7}{25}}}\)? To "uzasadnienie" jest do niczego.Szymon66 pisze:i podniesione do dowolnego wykładnika innego niż 0 da nam sprzeczność z założeniem, że\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q} } = 3^{ \frac{r}{s} }}\).
JK