Układ dwóch równań z różniczką ułamkową

[Shigon]

Witam,

Chciałbym was prosić o pomoc z rozwiązaniem takiego układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}A_{1} \cdot y''(t) + A_{2} \cdot y'(t) + A_{3} \cdot y(t) = 1 \\ B_{1} \cdot y''(t) + B_{2} \cdot y'(t) + B_{3} \cdot y(t) + B_{4} \cdot \mbox{d}^{-v}y(t) = B_{5} + B_{6} \cdot \frac{t^{v}}{\gamma(v+1) \end{cases} }}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}^{-v}y(t)}\) to pochodna rzędu \(\displaystyle{ -v}\) z \(\displaystyle{ y(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ v \in R^{-}}\)

Współczynniki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są znane.
\(\displaystyle{ v}\) również.

Chodzi mi o ogólny sposób rozwiązania takiego układu, gdy już będę podstawiać sobie różne \(\displaystyle{ v}\). Rozwiązanie nie musi być analityczne, może być numeryczne.


Interesuje mnie także przynajmniej sama odpowiedź czy do wyznaczenia rozwiązania (\(\displaystyle{ y(t)}\)) takiego układu potrzebne są warunki początkowe dla \(\displaystyle{ y(t)}\).

Wydaje mi się że każde z tych równań osobno powinno być wystarczające do wyznaczenia rozwiązania ogólnego. Może zatem skoro mamy układ tych dwóch równań to jest on wystarczający do określenia rozwiązania szczególnego (mimo braku określonych warunków początkowych)?

[Premislav]

Hmm, znając współczynniki \(\displaystyle{ A_1, \ A_2, \ A_3}\), to pierwsze równanie można po prostu rozwiązać (np. równanie charakterystyczne+metoda przewidywań – tak chyba byłoby najszybciej – albo metoda szeregów potęgowych), po czym otrzymane rozwiązanie ogólne wstawić do drugiego równania (pewnie nie jest to najwydajniejsza metoda).