Równania kwadratowe z parametrem 6
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Równania kwadratowe z parametrem 6
Wyznacz wartości \(\displaystyle{ m}\), dla których oba pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^{2}-(m+1)x+m=0}\) są mniejsze niż \(\displaystyle{ 2}\).
Dwa pierwiastki są dla \(\displaystyle{ m \neq 1}\), bo delta wynosi \(\displaystyle{ (m-1)^{2}}\).
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}<4 \ \ \frac{-b}{a}<4 \ \ m+1<4 \ \ m<3}\)
Tylko problem zaczyna się przy \(\displaystyle{ (x_{1}-2)(x_{2}-2)>0.}\) Jak wszystko pomnożę, to wychodzi mi \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}-2(x_{1}x_{2})+4>0}\) i wychodzi mi, że \(\displaystyle{ m<-2}\), a to według odpowiedzi jest źle.
Dwa pierwiastki są dla \(\displaystyle{ m \neq 1}\), bo delta wynosi \(\displaystyle{ (m-1)^{2}}\).
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}<4 \ \ \frac{-b}{a}<4 \ \ m+1<4 \ \ m<3}\)
Tylko problem zaczyna się przy \(\displaystyle{ (x_{1}-2)(x_{2}-2)>0.}\) Jak wszystko pomnożę, to wychodzi mi \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}-2(x_{1}x_{2})+4>0}\) i wychodzi mi, że \(\displaystyle{ m<-2}\), a to według odpowiedzi jest źle.
Ostatnio zmieniony 18 sie 2019, o 15:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3356 razy
Równania kwadratowe z parametrem 6
\(\displaystyle{ (x_{1}-2)(x_{2}-2)>0}\)Niepokonana pisze:W
Tylko problem zaczyna się przy \(\displaystyle{ (x_{1}-2)(x_{2}-2)>0}\) Jak wszystko pomnożę to wychodzi mi \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}-2(x_{1}x_{2})+4>0}\) i wychodzi mi, że \(\displaystyle{ m<-2}\), a to według odpowiedzi jest źle.
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4>0}\)
\(\displaystyle{ m<2}\)
Rozwiązanie alternatywne z położenia paraboli \(\displaystyle{ y=x^2-(m+1)x+m}\) i jej wierzchołka :
\(\displaystyle{ \begin{cases} y(2)>0\\ x_w<2 \\ y_w<0 \end{cases}}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Równania kwadratowe z parametrem 6
Co masz na myśli?kerajs pisze:Rozwiązanie alternatywne z położenia paraboli \(\displaystyle{ y=x^2-(m+1)x+m}\) i jej wierzchołka :
\(\displaystyle{ \begin{cases} y(2)>0\\ x_w<2 \\ y_w<0 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 18 sie 2019, o 16:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Równania kwadratowe z parametrem 6
To samo, co ja, gdy w jednym z Twoich ostatnich tematów proponowałem podejście odwołujące się do geometrycznych intucji. Warunki napisane przez kerajsa można napisać, jak się zastanowi, jak wykres takiej funkcji będzie wyglądał. Tutaj \(\displaystyle{ x_w,y_w}\) oznaczają współrzędne wierzchołka.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Równania kwadratowe z parametrem 6
Trzeci warunek jest zbędny, skoro mamy dwa pierwiastki i dodatni współczynnik przy: \(\displaystyle{ x^2}\)kerajs pisze:Rozwiązanie alternatywne z położenia paraboli \(\displaystyle{ y=x^2-(m+1)x+m}\) i jej wierzchołka :
\(\displaystyle{ \begin{cases} y(2)>0\\ x_w<2 \\ y_w<0 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 19 sie 2019, o 13:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 52 razy
- Pomógł: 15 razy
Równania kwadratowe z parametrem 6
Dobrze, jak inni napisali wyżej, zastanowić się, jak będzie wyglądać wykres tej funkcji kwadratowej. Jeśli wierzchołek funkcji znajduje się poniżej osi OX, czyli \(\displaystyle{ y_w < 0}\), oraz ramiona paraboli są skierowane do góry (a współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) na to wskazuje), to wykres funkcji musi w pewnych miejscach przecinać oś OX. Jeśli tak jest, to zastanawiamy się, gdzie musi leżeć wierzchołek, aby były spełnione warunki zadania. Wierzchołek znajduje się pomiędzy miejscami zerowymi, więc na pewno musi leżeć „przed dwójką” (\(\displaystyle{ x_2 < 2}\)); w innym przypadku co najmniej jedno miejsce zerowe tej funkcji leżałoby „na prawo od dwójki”. Mogłoby się jednak zdarzyć, że wierzchołek znajdowałby się w takim miejscu, jednak wykres byłby „rozciągnięty” i jedno z miejsc zerowych i tak znajdowałoby się „na dwójce” albo „na prawo od niej”. Dlatego jest jeszcze jeden warunek, \(\displaystyle{ f(2) > 0}\). Jeśli wartość funkcji dla argumentu \(\displaystyle{ x = 2}\) jest dodatnia, a wierzchołek, jak wcześniej sprawdziliśmy, leży „na lewo od dwójki” i poniżej osi OX, to oznacza to, że gdzieś pomiędzy znajdowało się miejsce zerowe, gdyż z wartości ujemnych funkcja przeszła w wartości dodatnie. Z tego wszystkiego wynika, że oba miejsca zerowe są mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\).Niepokonana pisze:Co masz na myśli?kerajs pisze:Rozwiązanie alternatywne z położenia paraboli \(\displaystyle{ y=x^2-(m+1)x+m}\) i jej wierzchołka :
\(\displaystyle{ \begin{cases} y(2)>0\\ x_w<2 \\ y_w<0 \end{cases}}\)
Trzeci warunek nie jest potrzebny, ale mimo wszystko myślę, że warto zapisać. Zawsze ma się pewność.Belf pisze:Trzeci warunek jest zbędny, skoro mamy dwa pierwiastki i dodatni współczynnik przy: \(\displaystyle{ x^2}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
Z tego co wiem, to wierzchołek jest w połowie drogi między miejscami zerowymi. Przynajmniej w normalnych funkcjach bez zbędnych udziwnień.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
Jak może być: \(\displaystyle{ y_w>0}\),jeśli trójmian o dodatnim współczynniku przy a , ma dwa miejsca zerowe? O jakiej pewności mówisz ?-- 19 sie 2019, o 13:39 --
Jeśli trójmian posiada dwa miejsca zerowe,to odcięta wierzchołka paraboli zawsze leży w środku między nimi.
Niepokonana pisze:Z tego co wiem, to wierzchołek jest w połowie drogi między miejscami zerowymi. Przynajmniej w normalnych funkcjach bez zbędnych udziwnień.
Jeśli trójmian posiada dwa miejsca zerowe,to odcięta wierzchołka paraboli zawsze leży w środku między nimi.
-
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 52 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
O pewności w trakcie robienia zadania. Oczywiście masz rację, wierzchołek paraboli zawsze będzie w takim wypadku znajdował się poniżej osi OX, ale mam na myśli, że dodanie takiego warunku nie wpływa na poprawność rozwiązania zadania.Belf pisze:Jak może być: \(\displaystyle{ y_w>0}\),jeśli trójmian o dodatnim współczynniku przy a , ma dwa miejsca zerowe? O jakiej pewności mówisz ?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
Ok, \(\displaystyle{ x_{2}}\) jest między wierzchołkiem a 2. Pytanie brzmi, gdzie konkretnie jest \(\displaystyle{ x_{2}}\).
Ostatnio zmieniony 19 sie 2019, o 15:16 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
Niepokonana pisze:Ok, \(\displaystyle{ x_{2}}\) jest między wierzchołkiem a 2. Pytanie brzmi, gdzie konkretnie jest x_{2}
Nikt Cię o to nie pyta. Masz znależć wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) , dla których obydwa pierwiastki są mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
No to ja się pytam, jak to zrobić. XDD
Ok, może po prostu będę robiła to tym pierwszym sposobem.
Ok, może po prostu będę robiła to tym pierwszym sposobem.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
Przecież takich miejsc zerowych jest nieskończenie wiele.Niepokonana pisze:No to ja się pytam, jak to zrobić. XDD
Ok, może po prostu będę robiła to tym pierwszym sposobem.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
I w tym jest zasadniczy problem. Skąd wziąć m, które pasuje?
To uczucie, gdy pomylisz 2 i -2 i niechcący tworzysz dziwną dyskusję o niczym.
To uczucie, gdy pomylisz 2 i -2 i niechcący tworzysz dziwną dyskusję o niczym.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Równania kwadratowe z parametrem 6
Przecież masz trzy warunki:
1) \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
2) \(\displaystyle{ x_w < 2}\)
3) \(\displaystyle{ f(2) > 0}\)
1) \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
2) \(\displaystyle{ x_w < 2}\)
3) \(\displaystyle{ f(2) > 0}\)