Równania kwadratowe z parametrem 4

[Niepokonana]

Równanie \(\displaystyle{ (k+ \frac{1}{2}x^{2}+k=(k+1)x}\) ma dokładnie jeden pierwiastek, jeżeli k wynosi...

Wiem, że się to robi deltą, ale mi ta delta nie wychodzi, proszę, policzcie mi deltę... I tak, może być równanie liniowe dla \(\displaystyle{ k=- \frac{1}{2}}\), ale są jeszcze 2 inne odpowiedzi.

[janusz47]

Czy równanie kwadratowe określone jest wzorem

\(\displaystyle{ (k+ \frac{1}{2})x^{2}+k=(k+1)x ?}\)

[Niepokonana]

To trzeba przerzucić na drugą stronę, wiem, ale i tak mi nie wychodzi.

[janusz47]

Jeśli tak, to równanie kwadratowe ma postać ogólną:

\(\displaystyle{ \left(k+\frac{1}{2}\right) x^2 -(k+1)x +k = 0}\)

Dwa przypadki

\(\displaystyle{ 1. \ \ a = k +\frac{1}{2} \neq 0 \wedge \Delta = [-(k+1)]^2 - 4\left( k+\frac{1}{2}\right) k = 0.}\)

\(\displaystyle{ k \neq -\frac{1}{2} \wedge \Delta = k^2 +2k +1 -4k^2 -2k = 0,}\)

\(\displaystyle{ k \neq -\frac{1}{2} \wedge \Delta = -3k^2 + 1 =-3 \left( k- \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\left( k+ \frac{1}{\sqrt{3}}\right) =0}\)

\(\displaystyle{ k \neq \frac{1}{2} \wedge \left(k = \frac{\sqrt{3}}{3} \vee k = -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}\)

Przypadek \(\displaystyle{ 2}\) równanie liniowe, gdy

\(\displaystyle{ k= - \frac{1}{2}}\) i wtedy \(\displaystyle{ x = \frac{k}{k+1}= \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}+1} = -1.}\)