Witam serdecznie,
Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc przy tym zadaniu, które brzmi następująco : Udowodnić, że w zwartej przestrzeni metrycznej dla dwóch różnych składowych \(\displaystyle{ A, B}\) mamy \(\displaystyle{ \inf\limits_{a\in A, b \in B} d(a,b) > 0}\) . Czy jest tak w dowolnej przestrzeni metrycznej ?
Z góry dziękuję za pomoc
Zwarte przestrzenie metryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 25 cze 2019, o 17:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 11 razy
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Zwarte przestrzenie metryczne
Dowód 1
Niech
\(\displaystyle{ d(A,B) = \inf\limits_{a\in A, b \in B} [ d(a,b)].}\)
Istnieją wtedy ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}) \subset A, \ \ (b_{n}) \subset B}\) takie, że \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}}\ \ 0 \leq d(a_{n}, b_{n})< \frac{1}{n}.}\)
Z założenia zwartości zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) wynika, że istnieją podciągi, odpowiednio
\(\displaystyle{ a_{r_{n_{m}}} \subset A, \ \ b_{r_{n_{m}}} \subset B}\)
takie, że \(\displaystyle{ \forall_{m\in \mathbb{N}} \ \ 0\leq d(a_{r_{n_{m}}}, b_{r_{n_{m}}}) < \frac{1}{r_{n_{m}}}.}\)
Z tego, że \(\displaystyle{ r_{n}_{m}}\geq n_{m} \geq m > 0,}\)
prawdziwe są więc implikacje
\(\displaystyle{ 0 < \frac{1}{r_{n_{m}}} < \frac{1}{m} \rightarrow \frac{1}{r_{n}_{m}}} \rightarrow 0}\)
Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że istnieją ciągi zbieżne
\(\displaystyle{ (a_{n}) \subset A, \ \ (b_{n}) \subset B}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{n} \rightarrow a \subset A, \ \ b_{n} \rightarrow b \subset B,}\)
Stąd
\(\displaystyle{ d(a_{n}, b_{n}) \rightarrow d( a, b ).}\)
W konsekwencji
\(\displaystyle{ d(a, b) = 0 \rightarrow a = b}\) co przeczy, że \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset.}\)
c.n.d.
Dowód 2
Załóżmy, że \(\displaystyle{ d(A, B) = 0}\)
Rozpatrujemy funkcję \(\displaystyle{ d(x, B) = \inf\{ d(x,y), \ \ y\in B\}}\) Jest to funkcja ciągła i rozpatrywana na zwartej przestrzeni \(\displaystyle{ A}\) osiąga minimum .
To znaczy, że istnieje takie
\(\displaystyle{ a\in A}\), że \(\displaystyle{ d(A, B) = \inf\{ d(x, B): x\in A\} = d(A, B) = 0.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ d(A, B) = 0}\) więc \(\displaystyle{ a\in cl_{X}(B).}\) \(\displaystyle{ B}\) jest zwarty, więc jest domknięty, czyli \(\displaystyle{ a\in cl_{X}(B) = B,}\)
co przeczy, że \(\displaystyle{ A \cap B =\emptyset.}\)
c.n.d.
Niech
\(\displaystyle{ d(A,B) = \inf\limits_{a\in A, b \in B} [ d(a,b)].}\)
Istnieją wtedy ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}) \subset A, \ \ (b_{n}) \subset B}\) takie, że \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}}\ \ 0 \leq d(a_{n}, b_{n})< \frac{1}{n}.}\)
Z założenia zwartości zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) wynika, że istnieją podciągi, odpowiednio
\(\displaystyle{ a_{r_{n_{m}}} \subset A, \ \ b_{r_{n_{m}}} \subset B}\)
takie, że \(\displaystyle{ \forall_{m\in \mathbb{N}} \ \ 0\leq d(a_{r_{n_{m}}}, b_{r_{n_{m}}}) < \frac{1}{r_{n_{m}}}.}\)
Z tego, że \(\displaystyle{ r_{n}_{m}}\geq n_{m} \geq m > 0,}\)
prawdziwe są więc implikacje
\(\displaystyle{ 0 < \frac{1}{r_{n_{m}}} < \frac{1}{m} \rightarrow \frac{1}{r_{n}_{m}}} \rightarrow 0}\)
Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że istnieją ciągi zbieżne
\(\displaystyle{ (a_{n}) \subset A, \ \ (b_{n}) \subset B}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{n} \rightarrow a \subset A, \ \ b_{n} \rightarrow b \subset B,}\)
Stąd
\(\displaystyle{ d(a_{n}, b_{n}) \rightarrow d( a, b ).}\)
W konsekwencji
\(\displaystyle{ d(a, b) = 0 \rightarrow a = b}\) co przeczy, że \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset.}\)
c.n.d.
Dowód 2
Załóżmy, że \(\displaystyle{ d(A, B) = 0}\)
Rozpatrujemy funkcję \(\displaystyle{ d(x, B) = \inf\{ d(x,y), \ \ y\in B\}}\) Jest to funkcja ciągła i rozpatrywana na zwartej przestrzeni \(\displaystyle{ A}\) osiąga minimum .
To znaczy, że istnieje takie
\(\displaystyle{ a\in A}\), że \(\displaystyle{ d(A, B) = \inf\{ d(x, B): x\in A\} = d(A, B) = 0.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ d(A, B) = 0}\) więc \(\displaystyle{ a\in cl_{X}(B).}\) \(\displaystyle{ B}\) jest zwarty, więc jest domknięty, czyli \(\displaystyle{ a\in cl_{X}(B) = B,}\)
co przeczy, że \(\displaystyle{ A \cap B =\emptyset.}\)
c.n.d.