Kombinatoryka - losowanie jednoczesne kul z pojemnika

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Kombinatoryka - losowanie jednoczesne kul z pojemnika

Post autor: Makoszet » 6 lip 2019, o 12:47

Cześć,

Już naprawdę ostatnie zadanie.

z pojemnika zawierającego 12 kul rozróżnialnych: 5 bialych, 4 czarne, 3 zielone wybieramy jednocześnie 6 kul. Ile jest sposobów wyboru takich, że wśród wybranych kul będą 2 kule białe i 2 czarne?

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Kombinatoryka - losowanie jednoczesne kul z pojemnika

Post autor: Gosda » 6 lip 2019, o 12:50

Z pięciu białych wybierz dwie białe, z czterech czarnych wybierz dwie czarne, z trzech zielonych wybierz dwie zielone (\(\displaystyle{ 6 - 2 - 2 = 2}\)).

Makoszet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 11 lut 2017, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Re: Kombinatoryka - losowanie jednoczesne kul z pojemnika

Post autor: Makoszet » 6 lip 2019, o 13:05

Nie ma takiej odpowiedzi:

a) 60
b) 180
c) 132
d) 19

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Kombinatoryka - losowanie jednoczesne kul z pojemnika

Post autor: Gosda » 6 lip 2019, o 13:09

Podpowiem, że z pięciu kul dwie można wybrać na

\(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\)

sposobów. Symbol ten czytamy "2 z 5", więc to, co napisałem wyżej, można wprost przetłumaczyć na wzór matematyczny dający odpowiedź.
Ostatnio zmieniony 6 lip 2019, o 21:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18558
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3143 razy

Re: Kombinatoryka - losowanie jednoczesne kul z pojemnika

Post autor: a4karo » 6 lip 2019, o 14:23

Gosda pisze:Podpowiem, że z pięciu kul dwie można wybrać na

\(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\)

sposobów. Symbol ten czytamy "2 z 5", więc to, co napisałem wyżej, można wprost przetłumaczyć na wzór matematyczny dający odpowiedź.
Z pięciu białych wybierz dwie białe, z czterech czarnych wybierz dwie czarne, z trzech zielonych wybierz dwie zielone\(\displaystyle{ (6 - 2 - 2 = 2)}\).
Naprawdę twierdzisz że są tylko dwa sposoby?

A poza tym kule są rozróżnialne

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2947
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 979 razy

Re: Kombinatoryka - losowanie jednoczesne kul z pojemnika

Post autor: Janusz Tracz » 6 lip 2019, o 15:01

Mi takie wybieranie przypomina tworzenie delegacji \(\displaystyle{ k}\) elementowej ze zbioru \(\displaystyle{ m+n}\) elementowego, gdzie \(\displaystyle{ m}\) to ilość przedmiotów pierwszego typu a \(\displaystyle{ n}\) to ilość przedmiotów drugiego typu. Gdy chcemy stworzyć delegację taką, że \(\displaystyle{ k=m'+n'}\) czyli złożona z \(\displaystyle{ m'}\) elemętów typu pierwszego oraz \(\displaystyle{ n'}\) elementów typu drugiego można to uczynić na \(\displaystyle{ {m \choose m'} {n \choose n'}}\). Tu widzę to analogicznie tylko, że jest jeszcze trzeci typ elementów (trzeci kolor) zatem delegacja \(\displaystyle{ 2,2,2}\) może zostać utworzona na \(\displaystyle{ {5 \choose 2} {4 \choose 2} {3 \choose 2}=180}\) sposobów.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Kombinatoryka - losowanie jednoczesne kul z pojemnika

Post autor: Gosda » 6 lip 2019, o 15:55

a4karo pisze:
Gosda pisze:Z pięciu białych wybierz dwie białe, z czterech czarnych wybierz dwie czarne, z trzech zielonych wybierz dwie zielone\(\displaystyle{ (6 - 2 - 2 = 2)}\).
Naprawdę twierdzisz że są tylko dwa sposoby?

A poza tym kule są rozróżnialne
\(\displaystyle{ 6 - 2 - 2 = 2}\) tłumaczy, czemu z trzech zielonych wybieramy akurat dwie.

Owszem, kule są rozróżnialne. Wymnożenie trzech liczb odpowiadających trzem zdaniom, od których zacząłem, daje poprawny wynik - postaram się w przyszłości unikać takich skrótów myślowych.

ODPOWIEDZ