Ukryta treść:
Twierdzenie Borsuka-ULama
- Legisl
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1 raz
Twierdzenie Borsuka-ULama
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) będzie pewną rozmaitością topologiczną, która nie jest homeomorficzna z \(\displaystyle{ S^{n}}\) , mam na myśli taką, że: \(\displaystyle{ genus(\mathbb{X}) \ge 1}\) , czyli rozmaitość ma co najmniej jedną "dziurę". Pondato gdy \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem ciągłym \(\displaystyle{ f:\mathbb{X} \rightarrow \RR^{m}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \exists x\in \mathbb{X}:f(x)=f(-x)}\) dla dowolnego odwzorowania ciągłego. Czy tak zdefiniowana rozmaitość może istnieć?
- Legisl
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Twierdzenie Borsuka-ULama
Pewien punkt należący do \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\), który jest punktem przeciwnym do punktu \(\displaystyle{ x}\).
Ostatnio zmieniony 5 lip 2019, o 19:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Twierdzenie Borsuka-ULama
Wikipedia mówi, że twierdzenie jest prawdziwe, jeśli zamiast sfery weżmiesz brzeg dowolnego otwartego, ograniczonego i symetrycznego podzbioru \(\displaystyle{ \mathbb R^n}\). To jest dokładniej opisane w ... nt_theorem i chyba odpowiada na Twoje pytanie?
\(\displaystyle{ -x}\) ma sens tylko wtedy, gdy Twoja rozmaitość jest zanurzona w jakiejś przestrzeni euklidesowej. Czasami wygodniej jest tego nie robić (tzn. nie zanurzać).
\(\displaystyle{ -x}\) ma sens tylko wtedy, gdy Twoja rozmaitość jest zanurzona w jakiejś przestrzeni euklidesowej. Czasami wygodniej jest tego nie robić (tzn. nie zanurzać).
- Legisl
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Twierdzenie Borsuka-ULama
Faktycznie, ma to tylko sens, gdy rozmaitość jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej, ponieważ rozmaitość topologiczna nie musi mieć struktury lokalnej z \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) tylko z dowolną przestrzenią wektorową, wtedy \(\displaystyle{ -x}\) nie jest zdefiniowany dla \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) , która nie posiada lokalnej struktury euklidesowej. Dziękuję za odpowiedź i link do strony, rzeczywiście odpowiada na moje pytanie, lecz niestety nie ma tam żadnego dowodu danego twierdzenia, chyba że nie zauważam czegoś oczywistego
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Twierdzenie Borsuka-ULama
Zajrzyj do Steinlein, H. (1985). "Borsuk's antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.). 95: 166–235, powinno być, a jak nie ma, to poszukamy dalej
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Twierdzenie Borsuka-ULama
Rozmaitość topologiczna lokalnie ma strukturę \(\displaystyle{ \RR^n}\), ale to nie wystarczy, żeby w sensowny sposób zdefiniować operację \(\displaystyle{ x \mapsto -x}\).Legisl pisze:rozmaitość topologiczna nie musi mieć struktury lokalnej z \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) tylko z dowolną przestrzenią wektorową, wtedy \(\displaystyle{ -x}\) nie jest zdefiniowany dla \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) , która nie posiada lokalnej struktury euklidesowej.