Twierdzenie Borsuka-ULama

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Twierdzenie Borsuka-ULama

Post autor: Legisl » 5 lip 2019, o 16:06

Ukryta treść:    
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) będzie pewną rozmaitością topologiczną, która nie jest homeomorficzna z \(\displaystyle{ S^{n}}\) , mam na myśli taką, że: \(\displaystyle{ genus(\mathbb{X}) \ge 1}\) , czyli rozmaitość ma co najmniej jedną "dziurę". Pondato gdy \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem ciągłym \(\displaystyle{ f:\mathbb{X} \rightarrow \RR^{m}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \exists x\in \mathbb{X}:f(x)=f(-x)}\) dla dowolnego odwzorowania ciągłego. Czy tak zdefiniowana rozmaitość może istnieć?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17044
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2866 razy

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

Post autor: a4karo » 5 lip 2019, o 18:03

A co to jest \(\displaystyle{ -x}\) ?

Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

Post autor: Legisl » 5 lip 2019, o 18:06

Pewien punkt należący do \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\), który jest punktem przeciwnym do punktu \(\displaystyle{ x}\).
Ostatnio zmieniony 5 lip 2019, o 19:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 123
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

Post autor: Gosda » 5 lip 2019, o 19:47

Wikipedia mówi, że twierdzenie jest prawdziwe, jeśli zamiast sfery weżmiesz brzeg dowolnego otwartego, ograniczonego i symetrycznego podzbioru \(\displaystyle{ \mathbb R^n}\). To jest dokładniej opisane w https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... nt_theorem i chyba odpowiada na Twoje pytanie?

\(\displaystyle{ -x}\) ma sens tylko wtedy, gdy Twoja rozmaitość jest zanurzona w jakiejś przestrzeni euklidesowej. Czasami wygodniej jest tego nie robić (tzn. nie zanurzać).

Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

Post autor: Legisl » 5 lip 2019, o 21:48

Faktycznie, ma to tylko sens, gdy rozmaitość jest zanurzona w przestrzeni euklidesowej, ponieważ rozmaitość topologiczna nie musi mieć struktury lokalnej z \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) tylko z dowolną przestrzenią wektorową, wtedy \(\displaystyle{ -x}\) nie jest zdefiniowany dla \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) , która nie posiada lokalnej struktury euklidesowej. Dziękuję za odpowiedź i link do strony, rzeczywiście odpowiada na moje pytanie, lecz niestety nie ma tam żadnego dowodu danego twierdzenia, chyba że nie zauważam czegoś oczywistego

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 123
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

Post autor: Gosda » 5 lip 2019, o 23:41

Zajrzyj do Steinlein, H. (1985). "Borsuk's antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.). 95: 166–235, powinno być, a jak nie ma, to poszukamy dalej ;)

Awatar użytkownika
Legisl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 6 cze 2019, o 15:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

Post autor: Legisl » 5 lip 2019, o 23:55

Bardzo dziękuję

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8581
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1798 razy

Re: Twierdzenie Borsuka-ULama

Post autor: Dasio11 » 6 lip 2019, o 10:24

Legisl pisze:rozmaitość topologiczna nie musi mieć struktury lokalnej z \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) tylko z dowolną przestrzenią wektorową, wtedy \(\displaystyle{ -x}\) nie jest zdefiniowany dla \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) , która nie posiada lokalnej struktury euklidesowej.
Rozmaitość topologiczna lokalnie ma strukturę \(\displaystyle{ \RR^n}\), ale to nie wystarczy, żeby w sensowny sposób zdefiniować operację \(\displaystyle{ x \mapsto -x}\).

ODPOWIEDZ