Obracający się krążek i ciało

[alphacephei]

Witam. Jestem z Rosji i przygotowuję się do egzaminu wstępnego na studia w Polsce. Na lekcjach z fizyki nie omawialiśmy tematu obrót bryły sztywnej, dlatego bardzo ciężko mi zrozumieć, jak rozwiązać zadania na ten temat. Bardzo proszę o wyjaśnienie następującego zadania.

Krążek o momencie bezwładności \(\displaystyle{ I=0,02 kg \cdot m^{2}}\) obraca się bez tarcia wokół swojej
osi z prędkością kątową o wartości \(\displaystyle{ \omega=30 rad/s}\). W pewnej chwili na krążek spadło
ciało o masie \(\displaystyle{ m=0,5 kg}\) (z szybkością początkową \(\displaystyle{ V_{0} =0}\)), które zaczęło się obracać
razem z krążkiem pozostając w odległości \(\displaystyle{ 10 cm}\) od osi obrotu (rozmiary ciała pomijamy). Ile wynosi wartość prędkości kątowej układu krążek-ciało?

[ivni]

Skorzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Moment bezwładności można rozumieć analogicznie do masy. Masa jest związana z tym, jak trudno jest wprawić ciało w ruch postępowy. Podobnie moment bezwładności jest związany z tym, jak ciężko jest wprawić ciało w ruch obrotowy. Kiedy ciało, nazwijmy je ciało A, spadło na krążek, możemy je razem potraktować jako jedno ciało, którego moment bezwładności jest równy sumie momentów krążka i ciała A, oznaczmy \(\displaystyle{ I_A=mr^2, I'=I_A+I}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest odległością ciała A od osi obrotu, tu \(\displaystyle{ 10cm}\) (zgodnie z poleceniem rozmiary ciała pomijamy, więc traktujemy je jako masę punktową, skąd wzór na \(\displaystyle{ I_A}\)). Na początku tylko krążek się obracał, więc moment pędu układu jest równy momentowi pędu krążka \(\displaystyle{ I\omega}\). Na końcu krążek wraz z ciałem A obracają się ze wspólną prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega'}\), więc moment pędu układu jest równy \(\displaystyle{ I'\omega'}\). Teraz korzystając z zasady zachowania momentu pędu, możemy napisać, że początkowy moment pędu układu jest równy końcowemu \(\displaystyle{ I\omega=I'\omega'=(mr^2+I)\omega'}\), skąd \(\displaystyle{ \omega'= \frac{I\omega}{mr^2+I}}\).

[janusz47]

Dane:

\(\displaystyle{ I = 0,02 kg\cdot m^2.}\)

\(\displaystyle{ \omega_{0} = 30 \frac{rad}{s}.}\)

\(\displaystyle{ m = 0,5 kg.}\)

\(\displaystyle{ v_{0} = 0}\)

\(\displaystyle{ r = 10 cm = 0,1 m.}\)

\(\displaystyle{ \mu = 0,3.}\)

Obliczyć

\(\displaystyle{ \omega}\) - wartość prędkości kątowej w kładzie " krążek-ciało"

Rozwiązanie

Założenia i analiza zadania

Ciało spada na obracający się krążek i jego początkowa prędkość kątowa wynosi \(\displaystyle{ \omega_{o}}\) a liniowa \(\displaystyle{ \omega_{o}\cdot r}\)

Pomijamy efekty uderzenia ciała przy upadku na krążek, przyjmując, że wysokość spadku była bardzo mała.
Względem krążka - ciało porusza się więc ruchem jednostajnie opóźnionym z przyśpieszeniem \(\displaystyle{ \epsilon_{wzgl.} = \frac{\omega_{0}}{t}}\) - zwróconym w górę.
Aby móc skorzystać z drugiej zasady dynamiki Newtona musimy ustalić, jaka jest wartość momentu siły hamującej ruch ciężarka w tym układzie odniesienia.

Układ związany z krążkiem, to układ nieinercjalny, w którym oprócz rzeczywistej siły tarcia na ciało działa siła bezwładności \(\displaystyle{ \vec{F}_{b}}\) , której wartość jest równa iloczynowi masy ciała \(\displaystyle{ m}\) i wartości przyśpieszenia stycznego punktu krążka odległego od \(\displaystyle{ r}\) od osi obrotu krążka to znaczy \(\displaystyle{ \epsilon \cdot r.}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \epsilon = \frac{M}{I} = \frac{\mu \cdot g \cdot m \cdot r}{I}.}\)

Ostatecznie wartość siły bezwładności

\(\displaystyle{ F_{b}= m\frac{\mu \cdot g \cdot m\cdot r}{I}r = \frac{\mu\cdot g \cdot m^2\cdot r^2}{I}.}\)

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu ciała po okręgu w układzie krążka

\(\displaystyle{ \epsilon_{ wzgl.} = \frac{(F_{b}+ T)\cdot r}{m \cdot r^2} = \frac{F_{b} + T}{m\cdot r}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{\omega_{0}}{t} = \frac{\frac{\mu \cdot g \cdot m^2\cdot r^2}{I}+\mu\cdot g \cdot r}{m\cdot r} = \mu\cdot g \left( \frac{m\cdot r}{I}+ \frac{1}{r}\right) = \mu\cdot g \frac{mr^2+ I}{I\cdot r}}\)

Skąd

\(\displaystyle{ t = \frac{\omega_{0}\cdot I \cdot r}{\mu\cdot g(m\cdot r^2 + I)}}\)

Prędkość kątowa w układzie związanym z krążkiem

\(\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi}{t} = \frac{2\pi \cdot \mu\cdot g\cdot (m\cdot r^2+ I)}{\omega_{0}\cdot I \cdot r}.}\)

Proszę podstawić dane liczbowe i sprawdzić jednostki.

[alphacephei]

Skorzystamy z zasady zachowania momentu pędu. Moment bezwładności można rozumieć analogicznie do masy. Masa jest związana z tym, jak trudno jest wprawić ciało w ruch postępowy. Podobnie moment bezwładności jest związany z tym, jak ciężko jest wprawić ciało w ruch obrotowy. Kiedy ciało, nazwijmy je ciało A, spadło na krążek, możemy je razem potraktować jako jedno ciało, którego moment bezwładności jest równy sumie momentów krążka i ciała A, oznaczmy \(\displaystyle{ I_A=mr^2, I'=I_A+I}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest odległością ciała A od osi obrotu, tu \(\displaystyle{ 10cm}\) (zgodnie z poleceniem rozmiary ciała pomijamy, więc traktujemy je jako masę punktową, skąd wzór na \(\displaystyle{ I_A}\)). Na początku tylko krążek się obracał, więc moment pędu układu jest równy momentowi pędu krążka \(\displaystyle{ I\omega}\). Na końcu krążek wraz z ciałem A obracają się ze wspólną prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega'}\), więc moment pędu układu jest równy \(\displaystyle{ I'\omega'}\). Teraz korzystając z zasady zachowania momentu pędu, możemy napisać, że początkowy moment pędu układu jest równy końcowemu \(\displaystyle{ I\omega=I'\omega'=(mr^2+I)\omega'}\), skąd \(\displaystyle{ \omega'= \frac{I\omega}{mr^2+I}}\).

Dziękuję bardzo za szczegółową odpowiedź, teraz rozumiem, jak rozwiązywać zadania tego rodzaju