Wyznacz wersor dla którego pochodna jest największa

[Zacny_Los]

Należy wyznaczyć wersor, dla którego \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e)}\) ma wartość największą.
Załóżmy że gradient \(\displaystyle{ \text{grad} f \left( \frac{1}{4}, 2\right) = \left(6e, e \right)}\).

W mojej szybkiej ocenie byłoby to po prostu \(\displaystyle{ \vec{v} = (1,0)}\), czy dobrze? A co z wartością najmniejszą? Wektor przeciwny?

[kerajs]

Szklana kula i fusy po herbacie mówią że się mylisz. Ja, bez znajomości funkcji \(\displaystyle{ f}\) , nie jestem w stanie tego zweryfikować.

[Zacny_Los]

Ok, \(\displaystyle{ f(x, y)=\ln ^{2} \frac{x}{y^{2}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (e, -e)}\). W zadaniu trzeba było jeszcze policzyć pochodną kierunkową funkcji w kierunku wersora \(\displaystyle{ \vec{v} = \left[ \frac{ \sqrt{3} }{2}, - \frac{1}{2} \right]}\), ale to już zrobiłem. Zależy mi na wyznaczeniu tego wersora dla którego \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e)}\) ma wartość największą.
Rozwiązany gradient podałem wyżej.

[kerajs]

Rozwiązany gradient podałem wyżej.

A konkretnie to gdzie?

Zależy mi na wyznaczeniu tego wersora dla którego \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e)}\) ma wartość największą.

\(\displaystyle{ f'_x=2\ln \frac{x}{y^2} \cdot \frac{1}{ \frac{x}{y^2}} \cdot \frac{1}{y^2} \\
f'_x(e,-e)=2\ln \frac{e}{e^2} \cdot \frac{1}{ \frac{e}{e^2}} \cdot \frac{1}{e^2}=2 \cdot (-1) \cdot e \cdot \frac{1}{e^2}= \frac{-2}{e}\\
f'_y=2\ln \frac{x}{y^2} \cdot \frac{1}{ \frac{x}{y^2}} \cdot \frac{-2x}{y^3} \\
f'_y(e,-e)=2\ln \frac{e}{e^2} \cdot \frac{1}{ \frac{e}{e^2}} \cdot \frac{-2e}{-e^3}=2 \cdot (-1) \cdot e \cdot \frac{-2}{-e^2}= \frac{-4}{e}\\
\\
\frac{ \partial f}{ \partial \vec{v} } (e, -e)= \frac{-2}{e}\cos \alpha + \frac{-4}{e}\sin \alpha =\frac{-2}{e}\left[\cos \alpha + 2\sin \alpha \right] =\frac{-2 \sqrt{5} }{e}\left[ \frac{1}{\sqrt{5}} \cos \alpha + \frac{2}{\sqrt{5}}\sin \alpha \right]=\\=\frac{-2 \sqrt{5} }{e}\cos\left( \alpha -\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}\right)}\)

Pewnie teraz łatwo będzie wskazać odpowiedni wersor \(\displaystyle{ \vec{v}= \left[ \cos \alpha , \sin \alpha\right]}\)