Wielościan wypukły

max123321 · Post autor: **max123321** » 25 cze 2019, o 20:05

Udowodnij, że jeśli wielościan wypukły nie ma ścian trójkątnych ani czworokątnych, to
\(\displaystyle{ 3k \le 5w-10}\).

Jak to zrobić?

leg14 · Post autor: **leg14** » 25 cze 2019, o 21:09

Pewnie powinieneś zastosować jakąś wersję wzoru Eulera

max123321 · Post autor: **max123321** » 25 cze 2019, o 21:48

No tak, ale jak to zrobić. Wiem tylko, że:
\(\displaystyle{ w-k+s=2}\)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 25 cze 2019, o 21:55

No właśnie. Teraz pomnóż tę równość obustronnie przez \(\displaystyle{ 5}\) oraz zastanów się, jak założenie o nieistnieniu ścian trójkątnych i czworokątnych da się wyrazić jako nierówność pomiędzy liczbą krawędzi a liczbą ścian.

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 25 cze 2019, o 22:29

Niestety nie wiem, dokładnie. Powinienem dostać \(\displaystyle{ 2k \ge 5s}\), ale nie wiem z czego to wynika.
Jedna krawędź wyznacza dwie ściany, a jedna ściana \(\displaystyle{ 5}\) krawędzi, ale jak to zebrać do kupy? Jakoś chyba nie mam wyobraźni do tego.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 25 cze 2019, o 22:34

Każda ściana ma przynajmniej pięć krawędzi, więc masz \(\displaystyle{ k\ge \frac{5s}{2}}\) (bo każdą krawędź liczysz dwukrotnie).

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 25 cze 2019, o 22:54

No faktycznie, jakoś nie spojrzałem na to w ten sposób. Dzięki.

Matematyka.pl