Prawdopodobieństwo ruiny

[alchem]

W modelu rezerwy \(\displaystyle{ Rn = u + n - (W1 + ... + Wn)}\) wiemy, że \(\displaystyle{ Wi}\) są iid o rozkładzie geometrycznym na \(\displaystyle{ 0, 1, 2, . . .}\) z parametrem \(\displaystyle{ p = 3/4}\). Policz prawdopodobieństwo ruiny w tym modelu dla \(\displaystyle{ u = 0}\).

Próbowałem z funkcji tworzącej prawdopodobieństwa oraz z tego, że ta suma ma rozkład ujemny dwumianowy dla \(\displaystyle{ r = n}\). Ale nigdzie nie można łatwymi obliczeniami dostać odpowiedzi.
Tutaj od razu widać odpowiedź, tzn niejawny wynik: \(\displaystyle{ P(x > n) =
\sum_{x=n+1}^{\infty} {n + x - 1 \choose x} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^ n \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^ x =}\)
\(\displaystyle{ 1 - \sum_{x = 0}^{n} {n + x - 1 \choose x} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \left(\frac{1}{4} \right)^ x = 1 - \left( \frac{3}{4} \right)^n \sum_{x = 0}^{n} {n + x - 1 \choose x} \cdot \left(\frac{1}{4} \right)^ x \cdot 1^{n-x}}\)
No i tu się rzuca w oczy, że może sumę zwinąć do postaci \(\displaystyle{ \left( a + b\right)^n}\) ale przez zmienną \(\displaystyle{ x}\) tak fajnie to nie wychodzi, tzn ja tego nie widzę, ale nigdy nie byłem fanem kombinowania przy dwumianie newtona.

Jakieś pomysły?