Definicja pochodnej i wykres funkcji

[Kaymon]

Hej,

Podobno nie ma głupich pytań, ale ja takie znalazłem.
1. Jak brzmi definicja pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}}\)?

Rozchodzi się o definicje pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu, czy może o definicje różniczkowalności funkcji w punkcie (tzn. istnieniu odwzorowaniu \(\displaystyle{ A}\), takiego że \(\displaystyle{ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{|f \left( x+h \right) -f \left( x \right) -Ah|}{|h|} = 0}\), przy czym pochodną jest \(\displaystyle{ A}\))?

2. Jak wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ M= \left\{ \left( x,y,z \right) \in \mathbb{R}^{3} ; z \cdot \ln \left( x+y \right) - \arctan \left( y+z \right) = -\frac{\pi}{4} \right\}}\) jest wykresem funkcji \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \mapsto z \left( x,y \right)}\) w otoczeniu \(\displaystyle{ m= \left( -1,2,-1 \right)}\)?

[a4karo]

1. O to drugie
2. Twierdzenie o funkcji uwikłanej

[Kaymon]

Chodzi o twierdzenie o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej, czyli wystarczy wykazać, że pochodne cząstkowe są ciągłe i pochodna po \(\displaystyle{ z}\) jest różna od \(\displaystyle{ 0}\), tak?

[a4karo]

Tak. No i spawdzić, że ten punkt należy do wykresu

[Kaymon]

Jasna sprawa, dzięki śliczne za pomoc.