Zbadaj otwartość zbioru
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 7 mar 2019, o 11:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
Zbadaj otwartość zbioru
Czy zbiór \(\displaystyle{ A=\{f \in C[0, 1]: f(0) = 1 \}}\) jest otwarty lub domknięty w \(\displaystyle{ \left( C[0, 1], d_{\sup }\right)}\)? Proszę o kilka rad jak do tego typu zadań podejść.
Ostatnio zmieniony 13 cze 2019, o 20:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Zbadaj otwartość zbioru
Odnośnie domkniętości, zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ \xi:C[0,1]\rightarrow \RR}\) o wzorze \(\displaystyle{ \xi(f):=f(0)}\) jest ciągła.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Zbadaj otwartość zbioru
Przeciwobraz zbioru domkniętego przez funkcję ciągłą ...
A odnośnie otwartości, rozważ ciąg \(\displaystyle{ (f_n)}\) elementów \(\displaystyle{ C[0,1]}\) zadanych wzorem \(\displaystyle{ f_n(x)=1-\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ x\in[0,1],n\in\NN}\).
A odnośnie otwartości, rozważ ciąg \(\displaystyle{ (f_n)}\) elementów \(\displaystyle{ C[0,1]}\) zadanych wzorem \(\displaystyle{ f_n(x)=1-\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ x\in[0,1],n\in\NN}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Zbadaj otwartość zbioru
Jest to ciąg elementów z dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ A}\), natomiast jego granica (w metryce supremum) należy do \(\displaystyle{ A}\).
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Zbadaj otwartość zbioru
Domkniętość nie ma wpływu na otwartość, te pojęcie nie mają ze sobą takiego związku i trzeba je rozpatrzeć osobno
\(\displaystyle{ A}\) jest domknięty
Można jeszcze inaczej pokazać domkniętość tego zbioru tzn. z definicji, pokazać że dopełnienie \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte, weźmy dowolną funkcję \(\displaystyle{ g \not\in A}\) Wtedy \(\displaystyle{ g(0) \neq 0}\), skoro tak to \(\displaystyle{ \left| g(0)-1\right| = r >0}\)
Weźmy teraz kulę \(\displaystyle{ B(g,r)}\) wtedy dla \(\displaystyle{ h \in B(g,r)}\) mamy \(\displaystyle{ h(0) \neq 1}\) Zatem A jest domknięty(choć pierwsze rozwiązanie matmatmm jest subtelniejsze).
Edit: Napisałem ciężką bzdurę co do otwartości, zmazuję to czym prędzej
\(\displaystyle{ A}\) jest domknięty
Można jeszcze inaczej pokazać domkniętość tego zbioru tzn. z definicji, pokazać że dopełnienie \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte, weźmy dowolną funkcję \(\displaystyle{ g \not\in A}\) Wtedy \(\displaystyle{ g(0) \neq 0}\), skoro tak to \(\displaystyle{ \left| g(0)-1\right| = r >0}\)
Weźmy teraz kulę \(\displaystyle{ B(g,r)}\) wtedy dla \(\displaystyle{ h \in B(g,r)}\) mamy \(\displaystyle{ h(0) \neq 1}\) Zatem A jest domknięty(choć pierwsze rozwiązanie matmatmm jest subtelniejsze).
Edit: Napisałem ciężką bzdurę co do otwartości, zmazuję to czym prędzej