Sprawdzić zwartość przestrzeni \(\displaystyle{ C(I,I)}\) funkcji ciągłych: \(\displaystyle{ I \rightarrow I}\) z metryką supremum, gdzie \(\displaystyle{ I=\left[ 0,1\right]}\)
Nienawidzę i kompletnie nie czuję metryki supremum. Wydaje mi się, że ta przestrzeń jest zwarta, ale nie osiągnąłem żadnego istotnego postępu. Próbowałem coś kombinować z ciągową zwartością i założyć nie wprost, że istnieje ciąg funkcji ciągłych \(\displaystyle{ (f _{n}) _{n}}\) (z \(\displaystyle{ I}\) w \(\displaystyle{ I}\)oczywiście) niemający podciągu zbieżnego w tej metryce i dojść do jakiejś sprzeczności, ale nic z tego.
\(\displaystyle{ [0,1]}\) (z metryką euklidesową) jest zbiorem zwartym, ale nie jestem pewien, czy jakkolwiek to można wykorzystać. Jakimś warunkiem Heinego tu przywalić czy co? Proszę o wskazówki.
Zwartość, metryka supremum
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 7 mar 2019, o 11:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
Zwartość, metryka supremum
A to przypadkiem nie jest ograniczone na \(\displaystyle{ [0,1]}\), a zatem z ciągu ograniczonego da się wybrać podciąg zbieżny?
Ostatnio zmieniony 13 cze 2019, o 19:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Zwartość, metryka supremum
Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych da się wybrać podciąg zbieżny w metryce euklidesowej. Jak chcesz stąd wywnioskować, że z każdego ciągu wspólnie ograniczonych funkcji ciągłych da się wybrać podciąg zbieżny w metryce supremum do funkcji ciągłej?
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 7 mar 2019, o 11:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
Zwartość, metryka supremum
Dobra, dzięki. Jak w takim razie pokazać, że nie da się z tego wybrać podciągu zbieżnego?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Zwartość, metryka supremum
Dla dowolnego podciągu tego ciągu jego granica punktowa nie jest elementem \(\displaystyle{ C[0,1]}\), gdyż jest to
\(\displaystyle{ f(x)= egin{cases} 0& ext{ dla }xin[0,1) \ 1& ext{ dla }x=1 end{cases}}\)
Pewnie da się to jakoś ładniej uargumentować…
\(\displaystyle{ f(x)= egin{cases} 0& ext{ dla }xin[0,1) \ 1& ext{ dla }x=1 end{cases}}\)
Pewnie da się to jakoś ładniej uargumentować…