Równanie różniczkowe

[mateusz1234]

Witam,
Prosze o pomoc w rozwiązaniu danego równania rózniczkowego, próbowałem na różne sposoby i nic z tego nie wychodzi. Wiem ze trzeba to zrobić za pomocą uzmienniania stałej:

\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x}\)

[Janusz Tracz]

To pokaż te próby bo równanie jest z tych bardziej standardowych.

[mateusz1234]

Za dużo kartek, i nawet nie wiem jak miałbym to pokazać

[Janusz Tracz]

Nie ma rączek, nie ma równanek różniczkowych.

[mateusz1234]

Yhy, dobra wyznaczam y i mam z tego ze równa sie 3x. Następnie nie mogę tego skrócić i wychodzą dziwne równania.

[Jan Kraszewski]

Kartek? Mocno przesadzasz. Może czynnik całkujący?

\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x\ /\ \cdot\frac{1}{x^3}\\
\frac{y'}{x^3}-\frac{3y}{x^4}=\frac{1}{x^2}\\
\left( \frac{y}{x^3}\right)'= \frac{1}{x^2}}\)

i całkujesz.

Całe rozwiązanie to max. sześć linijek.

JK

[mateusz1234]

A przypadkiem w równaniach różniczkowych nie trzeba rozdzielić, ze y są z jednej a x z drugiej strony?

[Janusz Tracz]

Niekoniecznie. To nie jest równanie ze zmiennymi rozdzielonymi tylko równanie liniowe niejednorodne. By je rozwiązać albo zauważysz to co Pan Jan napisała albo pójdziesz schematem i zaczniesz od równania jednorodnego.

\(\displaystyle{ y'= \frac{3}{x}y}\)

umiesz je rozwiązać?

[Jan Kraszewski]

By je rozwiązać albo zauważysz to co Pan Jan napisała albo pójdziesz schematem i zaczniesz od równania jednorodnego.

No akurat trudno o coś bardziej schematycznego niż czynnik całkujący...

Dla równania \(\displaystyle{ y'+f(x)y=g(x)}\) czynnik całkujący to \(\displaystyle{ \exp\left( \int f(x)dx\right)}\).

JK

[Mariusz M]

A przypadkiem w równaniach różniczkowych nie trzeba rozdzielić, ze y są z jednej a x z drugiej strony?

Można zastosować podstawienie a następnie pogrupować równanie
tak aby było możliwe rozdzielenie zmiennych

\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x\\
y=uv\\
y'=u'v+uv'\\
u'v+uv'- \frac{3}{x} \cdot uv=x\\
u'v+\left( v'- \frac{3}{x}v\right)u=x\\
v'- \frac{3}{x}v=0\\
v'=\frac{3}{x}v\\
\frac{ \mbox{d}v}{v}= \frac{3}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| v\right| } = 3\ln\left| x\right|\\
v=x^3\\
u'x^3=x\\
u'=\frac{1}{x^2}\\
u= -\frac{1}{x} +C\\
y=\left(-\frac{1}{x} +C \right)x^3\\
y=-x^2+Cx^3\\}\)