Równanie różniczkowe
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 10 cze 2019, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: olsztyn
Równanie różniczkowe
Witam,
Prosze o pomoc w rozwiązaniu danego równania rózniczkowego, próbowałem na różne sposoby i nic z tego nie wychodzi. Wiem ze trzeba to zrobić za pomocą uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x}\)
Prosze o pomoc w rozwiązaniu danego równania rózniczkowego, próbowałem na różne sposoby i nic z tego nie wychodzi. Wiem ze trzeba to zrobić za pomocą uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x}\)
Ostatnio zmieniony 10 cze 2019, o 21:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 10 cze 2019, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: olsztyn
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 10 cze 2019, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: olsztyn
Re: Równanie różniczkowe
Yhy, dobra wyznaczam y i mam z tego ze równa sie 3x. Następnie nie mogę tego skrócić i wychodzą dziwne równania.
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Równanie różniczkowe
Kartek? Mocno przesadzasz. Może czynnik całkujący?
\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x\ /\ \cdot\frac{1}{x^3}\\
\frac{y'}{x^3}-\frac{3y}{x^4}=\frac{1}{x^2}\\
\left( \frac{y}{x^3}\right)'= \frac{1}{x^2}}\)
i całkujesz.
Całe rozwiązanie to max. sześć linijek.
JK
\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x\ /\ \cdot\frac{1}{x^3}\\
\frac{y'}{x^3}-\frac{3y}{x^4}=\frac{1}{x^2}\\
\left( \frac{y}{x^3}\right)'= \frac{1}{x^2}}\)
i całkujesz.
Całe rozwiązanie to max. sześć linijek.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 10 cze 2019, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: olsztyn
Re: Równanie różniczkowe
A przypadkiem w równaniach różniczkowych nie trzeba rozdzielić, ze y są z jednej a x z drugiej strony?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Równanie różniczkowe
Niekoniecznie. To nie jest równanie ze zmiennymi rozdzielonymi tylko równanie liniowe niejednorodne. By je rozwiązać albo zauważysz to co Pan Jan napisała albo pójdziesz schematem i zaczniesz od równania jednorodnego.
\(\displaystyle{ y'= \frac{3}{x}y}\)
umiesz je rozwiązać?
\(\displaystyle{ y'= \frac{3}{x}y}\)
umiesz je rozwiązać?
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równanie różniczkowe
No akurat trudno o coś bardziej schematycznego niż czynnik całkujący...Janusz Tracz pisze:By je rozwiązać albo zauważysz to co Pan Jan napisała albo pójdziesz schematem i zaczniesz od równania jednorodnego.
Dla równania \(\displaystyle{ y'+f(x)y=g(x)}\) czynnik całkujący to \(\displaystyle{ \exp\left( \int f(x)dx\right)}\).
JK
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Równanie różniczkowe
Można zastosować podstawienie a następnie pogrupować równaniemateusz1234 pisze:A przypadkiem w równaniach różniczkowych nie trzeba rozdzielić, ze y są z jednej a x z drugiej strony?
tak aby było możliwe rozdzielenie zmiennych
\(\displaystyle{ y' - \frac{3}{x} \cdot y = x\\
y=uv\\
y'=u'v+uv'\\
u'v+uv'- \frac{3}{x} \cdot uv=x\\
u'v+\left( v'- \frac{3}{x}v\right)u=x\\
v'- \frac{3}{x}v=0\\
v'=\frac{3}{x}v\\
\frac{ \mbox{d}v}{v}= \frac{3}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| v\right| } = 3\ln\left| x\right|\\
v=x^3\\
u'x^3=x\\
u'=\frac{1}{x^2}\\
u= -\frac{1}{x} +C\\
y=\left(-\frac{1}{x} +C \right)x^3\\
y=-x^2+Cx^3\\}\)