Znaleźć transformatę Laplace'a funkcji

[nadro0404]

Funkcja
\(\displaystyle{ f(t)= e^{-2t} \ast \cos t}\)
Nie za bardzo wiem, jak wyznaczyć tą transformatę w tym zadaniu. Mógłby ktoś pomóc?

[Premislav]

Czy chodzi o mnożenie, czy jednak o splot?
Jeśli o splot, to twierdzenie Borela o splocie się kłania, jeśli mnożenie to normalnie liczysz całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}e^{-2t}\cos te^{-st}\,\dd t\\= \int_{0}^{+\infty}\cos t e^{-(s+2)t}\,\dd t\\= \frac{s+2}{s^2+4s+5}}\)

[nadro0404]

Chodzi o splot, dzięki, zgadza się z odpowiedzią.

A w takim czymś mógłbyś pomóc?
Mam wyznaczyć oryginał \(\displaystyle{ f(t)= L^{-1}[F(s)]}\)
jeżeli \(\displaystyle{ F(s)= \frac{9}{ (s ^{2} +9)^{2} }}\)
będę bardzo wdzięczny

[Premislav]

Zobaczmy, co da się zrobić:
\(\displaystyle{ \frac{9}{(s^2+9)^2} = \frac{9+s^2-s^2}{(s^2+9)^2} \\= \frac{1}{s^2+9}- \frac{s^2}{(s^2+9)^2}\\=\frac 1 3\cdot \frac{3}{s^2+9}-\left( \frac{s}{s^2+9}\right)^2}\)

Z podstawowych wzorów mamy
\(\displaystyle{ \frac{3}{s^2+3^2}=\mathcal{L}\left\{ \sin (3t)\right\}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{s}{s^2+3^2}=\mathcal{L}\left\{ \cos(3t)\right\}}\),
ale tam jest jeszcze ten kwadrat, no to
\(\displaystyle{ \left( \frac{s}{s^2+9} \right)^2=\mathcal{L}\left\{ \cos(3t)*\cos(3t)\right\}}\)
(gdzie \(\displaystyle{ *}\) oznacza splot) z twierdzenia Borela.
Czyli z liniowości transformaty Laplace'a mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 3\cdot \frac{3}{s^2+9}-\left( \frac{s}{s^2+9}\right)^2=\mathcal{L}\left\{ \frac 1 3\sin(3t)-\cos(3t)*\cos(3t)\right\}}\)
i ostatecznie dostajemy (bo transformata Laplace'a jest \(\displaystyle{ 1-1}\))
\(\displaystyle{ f(t)= \frac 1 3\sin(3t)-\cos(3t)*\cos(3t)}\)
Być może ten splot da się zapisać prościej, ale osobiście nie widzę potrzeby.

[nadro0404]

Dzięki wielkie!

[Mariusz M]

Premislav, jakiś czas temu odwracałeś już to przekształcenie ze wzoru Leibniza

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}s}\left( \frac{s}{s^2+9} \right) =\frac{1 \cdot \left( s^2+9\right)-s \cdot 2s }{\left( s^2+9\right)^2 } \\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}s}\left( \frac{s}{s^2+9} \right)=\frac{9-s^2}{\left( s^2+9\right)^2 }\\
\frac{s^2+9}{\left( s^2+9\right)^2}+\frac{9-s^2}{\left( s^2+9\right)^2 }=\frac{18}{\left( s^2+9\right)^2 }\\
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\sin{3t}-t\cos{3t}\right)\\
=\frac{1}{6}\sin{3t}-\frac{1}{2}t\cos{3t}\\}\)

Jeżeli chodzi o splot to można od razu spleść dwa sinusy

\(\displaystyle{ \sin{3t}*\sin{3t}\\
\int_{0}^{t}{\sin{3\tau}\sin{3\left( t-\tau\right) } \mbox{d}\tau}\\
\cos{\left( A-B\right) }=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\\
\cos{\left( A+B\right) }=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\\
\frac{1}{2}\int_{0}^{t}{\cos{\left( 6\tau-3t\right) }-\cos{\left( 3t\right) }\mbox{d}\tau}\\
\frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{6}\sin{\left( 3t\right) }-t\cos{3t}\right)-\left(\frac{1}{6}\sin{\left( 3t\right) }-0\right)\right)\\
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3}\sin{3t} -t\cos{3t} \right) \\
\frac{1}{6}\sin{3t}-\frac{1}{2}t\cos{3t}\\}\)