Otoczenie punktu

[Benny01]

Jest pewne twierdzenie, które mówi, że
\(\displaystyle{ x \in \overline{A} \Leftrightarrow \forall U \in \tau (x):U \cap A \neq \emptyset}\)
No i zastanawiam się co jeśli za zbiór \(\displaystyle{ A}\) weźmiemy sobie całą przestrzeń \(\displaystyle{ X}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem domkniętym.

[a4karo]

A co by się miało stać? Jeżeli\(\displaystyle{ U\in\tau(x)}\), to \(\displaystyle{ x\in U}\)

[Benny01]

No jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) z brzegu zbioru \(\displaystyle{ A}\) to może istnieć jego otoczenie? Intuicyjnie wydaje mi się że nie może, ponieważ wyjdziemy z przestrzeni.

[Premislav]

No i zastanawiam się co jeśli za zbiór \(\displaystyle{ A}\) weźmiemy sobie całą przestrzeń \(\displaystyle{ X}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem domkniętym.

Zbiorem domkniętym w czym? Chyba nie rozumiem pytania…
Bo albo to, co napisałeś, jest źle sformułowane (jeśli nie mówimy, w czym ten zbiór jest domknięty, a nie wynika to z kontekstu), albo nadmiarowe; gdy bowiem rozważamy topologię na \(\displaystyle{ X}\), to do niej muszą należeć zarówno \(\displaystyle{ \varnothing}\), jak i cały \(\displaystyle{ X}\), w szczególności \(\displaystyle{ X}\) jest domknięty jako dopełnienie otwartego \(\displaystyle{ \varnothing}\).

[Benny01]

Tak, topologia jest na \(\displaystyle{ X}\).

[Jan Kraszewski]

No jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) z brzegu zbioru \(\displaystyle{ A}\)

Ponieważ cała przestrzeń jest zbiorem domknięto-otwartym, więc ma pusty brzeg. Nie weźmiesz zatem...

JK

[Benny01]

Rzeczywiście, teraz już wszystko pasuje, dziękuje