Witam, mam problem... bo nie rozumiem co zrobić gdy wyniki z delty są ujemne dla równania różniczkowego. Jestem w takim miejscu: (to są pierwiastki)
\(\displaystyle{ r_{1}=-1 , r_{2}=1, r_{3}=i, r_{4}=-i}\)
Jak dalej doprowadzić do głównego wyniku?
Delta zespolona
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34232
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Delta zespolona
\(\displaystyle{ y(t)=C_1 \sin t+C_2\cos t+C_3e^t+C_4e^{-t}}\)
Ogólnie można skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ \cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}, \ \sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}}\)
Ogólnie można skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ \cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}, \ \sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}}\)
-
foe
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 14:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 1 raz
Re: Delta zespolona
Dlaczego tak? Skąd taki wzór na \(\displaystyle{ \cos t,\sin t}\) ?
Ostatnio zmieniony 6 cze 2019, o 19:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Delta zespolona
Mamy ze wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \cos t+i\sin t=e^{it}\\\cos(-t)+i\sin(-t)=e^{-it}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \cos t+i\sin t=e^{it}\\\cos t-i\sin(-t)=e^{-it}}\)
gdyż sinus jest nieparzysty, a cosinus parzysty.
Dodajemy stronami i mamy \(\displaystyle{ 2\cos t=e^{it}+e^{-it}}\), dzielimy przez dwa i jest wzór na cosinus, odejmujemy stronami drugie równanie od pierwszego i dostajemy
\(\displaystyle{ 2i\sin t=e^{it}-e^{-it}}\),
dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 2i}\) i mamy wzór na sinus.
Z równania charakterystycznego wychodziły nam \(\displaystyle{ e^{\pm i t}}\), no to teraz jeśli pewne dwie funkcje spełniają równanie różniczkowe liniowe jednorodne, to ich kombinacja liniowa też.
\(\displaystyle{ \cos t+i\sin t=e^{it}\\\cos(-t)+i\sin(-t)=e^{-it}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \cos t+i\sin t=e^{it}\\\cos t-i\sin(-t)=e^{-it}}\)
gdyż sinus jest nieparzysty, a cosinus parzysty.
Dodajemy stronami i mamy \(\displaystyle{ 2\cos t=e^{it}+e^{-it}}\), dzielimy przez dwa i jest wzór na cosinus, odejmujemy stronami drugie równanie od pierwszego i dostajemy
\(\displaystyle{ 2i\sin t=e^{it}-e^{-it}}\),
dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 2i}\) i mamy wzór na sinus.
Z równania charakterystycznego wychodziły nam \(\displaystyle{ e^{\pm i t}}\), no to teraz jeśli pewne dwie funkcje spełniają równanie różniczkowe liniowe jednorodne, to ich kombinacja liniowa też.