Wzory trygonometryczne

[miszazdr]

Cześć,
mam takie pytanie ws. liczb zespolonych i wykorzystanie ich w trygonometrii.
Wiemy, że
\(\displaystyle{ e^{ix} = \cos (x) + i\sin (x)}\) .
Prowadzi to do
\(\displaystyle{ e^{ikx} = \cos (kx) + i\sin (kx) =(\cos (x) + i\sin (x))^k}\).
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne mamy:
\(\displaystyle{ \cos(kx) = \Re[e^{ikx}]}\) i \(\displaystyle{ \sin(kx) = \Im[e^{ikx}]}\).
To z kolei może też nam podać wzór na sumę kątów czyli
\(\displaystyle{ \sin(x+y) = \Im[e^{i(y+x)}] = \Im[e^{ix}e^{iy}]}\)
i wielokrotność kąta. Analogicznie dla cosinusa.

Moje pytanie brzmi: jak mógłbym wyprowadzić wzory na np \(\displaystyle{ sin(x) + sin(y)}\)? wiem, że są wzory na sumę sinusów/cosinusów itp, jednak te wyprowadzenia wyżej są moim zdaniem o wiele szybsze i łatwiejsze (wymagają tylko znajomości trójkąta Pascala i podstawowych działań). Myślałem o sumowaniu \(\displaystyle{ \Re X + \Re Y}\), jednak nie pamiętam, czy w algebrze było to jakoś... definiowane?

[Janusz Tracz]

Gdy znacz wzór na \(\displaystyle{ \sin \left( x \pm y\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \left( x \pm y\right)}\) w postaci do jakiej pozwala dojść powyższe rozumowanie można zapisać:

\(\displaystyle{ \sin \left( x+y\right)=\sin x\cos y+\sin y\cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( x-y\right)=\sin x\cos y-\sin y\cos x}\)

sumując stronami dostaniesz

\(\displaystyle{ \sin \left( x+y\right)+\sin \left( x-y\right)=2\sin x\cos y}\)

Kładąc zaś \(\displaystyle{ x+y=a}\) oraz \(\displaystyle{ x-y=b}\) dostajesz:

\(\displaystyle{ \sin \left( a\right)+\sin \left( b\right)=2\sin \left( \frac{a+b}{2} \right) \cos \left( \frac{a-b}{2} \right)}\)

postępując analogiczni dostaniesz każdą inną kombinację.

[miszazdr]

nie do końca o to mi chodziło, szukałem bardziej jakiegoś sposobu bazującego dalej na liczbach zespolonych - \(\displaystyle{ \sin (x) + \cos (y) = \mbox{Im}(e^{ix}) + \mbox{Re}(e^{iy}) = ??}\)

jeszcze nie wiem jak w ładny sposób przepisać Twoje wyprowadzenie na język eksponent, ale dzięki!


[EDIT}

czym jest ta funkcja \(\displaystyle{ pi (n)}\)? można jakiś link do definicji?

[Janusz Tracz]

nie do końca o to mi chodziło, szukałem bardziej jakiegoś sposobu bazującego dalej na liczbach zespolonych

Przedstawione rozwiązanie uznałem za wystarczająco bazujące na liczbach zespolonych wszak wzory \(\displaystyle{ \sin\left( x \pm y\right)}\) itd. wynikają wprost z porównywania odpowiednich liczb zespolonych. Ale rozumiem, że chcesz bezwzględnie rozwiązanie bazujące na porównaniu liczb zespolonych. Pomyślę choć wydaje mi się, że w tym przypadku takie podejście jest dość sztuczne (i trochę na siłę) ale pomyślę.

czym jest ta funkcja \(\displaystyle{ \pi (n)}\)? można jakiś link do definicji?

To podpis pod każdym postem więc nie musisz się tym przejmować bo nie jest to część rozwiązania. Ale skoro pytasz to jest to liczba liczb pierwszych nie przekraczająca \(\displaystyle{ n}\), okazuje się, że w taki śmieszny (skrajnie niepraktyczny) sposób można ją zliczyć dokładnie. Link do opisu funkcji

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CF%80

.