Kombinacje z powtórzeniami

[hidden55]

Mam dwa podobne zadania, jednak różniące się nieco rozwiązaniem.

1) Na ile sposobów mogę włożyć 10 identycznych jabłek do 4 różnych misek?
Z tego, co rozumiem, rozwiązanie wygląda tak, że ustawiamy sobie nasze 10 jabłek, a następnie sprawdzamy, na ile sposobów możemy ustawić między nimi 3 kreski, które rozdzielałyby nasze jabłka na maksymalnie 4 zestawy (nasze 4 miski). Dopuszczalne są możliwości, że dwie kreski będą stały w jednym miejscu, wtedy jedna z misek będzie pusta itp. W takim przypadku korzystamy ze wzoru na kombinacje z powtórzeniami:

\(\displaystyle{ {n+k-1\choose k}}\)

gdzie \(\displaystyle{ n=11}\), \(\displaystyle{ k=3}\)

(11 możliwych "miejsc dla kresek", z czego wybieramy 3).

Czyli wychodzi nam

\(\displaystyle{ {11+3-1\choose 3}}\)

2) Ile rozwiązań ma równanie \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x _{4}+x _{5}+x _{6}+x _{7}=10}\)?

Tutaj patrzymy na to w taki sposób, że nasze \(\displaystyle{ x _{1},... ,x _{7}}\) są "miskami" do których chcemy włożyć łącznie 10 jedynek (aby równanie było prawdziwe). Idąc tym tropem, postąpiłbym podobnie jak w poprzednim zadaniu, próbując poustawiać "kreski" między tymi jedynkami.
Czyli miałbym

\(\displaystyle{ n=8}\), \(\displaystyle{ k=6}\)

i podstawiając do wzoru

\(\displaystyle{ {8+6-1\choose 6}}\)

Jednak tutaj rozwiązanie jest inne, za \(\displaystyle{ k}\) podstawiamy \(\displaystyle{ 7}\) (bo 7 "misek"), a za \(\displaystyle{ n}\) podstawiamy \(\displaystyle{ 10}\) (ilość elementów ("jedynek") do rozłożenia), czyli

\(\displaystyle{ {10+7-1\choose 7}}\).

Metody te dają różne wyniki.

Stąd moje pytanie, jakie są różnice w tych zadaniach, dlaczego stosujemy w nich różne metody rozwiązania?

Z góry dziękuję za pomoc

[kmarciniak1]

Ej ja nie jestem za dobry z kombinatoryki, ale chyba podpunkt b będzie ciut inaczej. Mamy \(\displaystyle{ 16}\) obiektów w rządku i \(\displaystyle{ 6}\) zamieniamy na przegrody.A więc \(\displaystyle{ {16\choose 6}}\)

[kerajs]

Zadanie 1. także jest błędnie rozwiązane, choć ma prawidłowy wynik.
Powinno być:
\(\displaystyle{ {10+4-1 \choose 4-1}}\)

Rozwiązaniem zadania 2. jest, jak podaje kolega kmarciniak1:
\(\displaystyle{ {10+7-1 \choose 7-1}}\)



PS
viewtopic.php?t=439545#p5574622

[hidden55]

Nie rozumiem dlaczego w obu przykładach na dole odejmujemy jedynkę

We wzorze (np. z wikipedii) mamy

\(\displaystyle{ {n+k-1\choose k}}\)

gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczba elementów do rozmieszczenia, a \(\displaystyle{ k}\) to liczba "misek".
W takim razie podstawiając bezpośrednio do wzoru na przykład w pierwszym przykładzie mamy

\(\displaystyle{ {10+4-1\choose 4}}\)

Dlaczego jednak zamiast tego powinno być

\(\displaystyle{ {10+4-1\choose 4-1}}\)

?

[kerajs]

We wzorze (np. z wikipedii) mamy

\(\displaystyle{ {n+k-1\choose k}}\)

gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczba elementów do rozmieszczenia, a \(\displaystyle{ k}\) to liczba "misek".
W takim razie podstawiając bezpośrednio do wzoru na przykład w pierwszym przykładzie mamy

\(\displaystyle{ {10+4-1\choose 4}}\)

Raczej \(\displaystyle{ k}\) to liczba jabłek, a wtedy:
1)
\(\displaystyle{ {4+10-1 \choose 10}= {13 \choose 10}= {13 \choose 13-10}= {13 \choose 3}= {10+4-1 \choose 4-1}}\)
2)
\(\displaystyle{ {7+10-1 \choose 10}= {16 \choose 10}= {16 \choose 16-10}= {16 \choose 6}= {10+7-1 \choose 7-1}}\)