Równanie 2 stopnia prostych równoległych

[terechsan]

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^2-\frac{\sqrt{3}}{2}xy+\frac{3}{4}y^2-x+\sqrt{3}y=0}\)

Powyższe równanie to równanie prostych równoległych.
W jaki sposób mogę przekształcić to równanie aby otrzymać poniższą postać?
\(\displaystyle{ \left(ax+by+c\right)^2=d}\)


Edit: Znam już odpowiedź na pytanie zawarte w poście:

Ukryta treść:    

Wystarczy podstawić pod x dowolne 2 wartości, wówczas równanie przekształca się na równanie kwadratowe, w ten sposób otrzymujemy dwie pary punktów. Te pary punktów leża na prostych równoległych do siebie, jedna z nich ma postać \(\displaystyle{ ax+by+c=-\frac{d}{2}}\) a druga \(\displaystyle{ ax+by+c=\frac{d}{2}}\).

Zatem zmieniam trochę pytanie, w jaki sposób mając dane równanie krzywej 2 stopnia sprawdzić czy jest to równanie prostych, czy równanie czegoś innego?

[Debet]

\(\displaystyle{ (-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}y}{2}+1)^2=-1}\)

[terechsan]

\(\displaystyle{ (-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}y}{2}+1)^2=-1}\)

a, b, c wyznaczone dobrze, ale d=1. Przecież kwadrat nie może być ujemny.

[Debet]

Proszę przeczytać jeszcze raz wykład.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}x^2-\frac{\sqrt{3}}{2}xy+\frac{3}{4}y^2-x+\sqrt{3}y=0}\)

\(\displaystyle{ (-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}y}{2}+1)^2=-1}\)

Te równania nie są równoważne, o czym nietrudno się przekonać, wstawiając \(\displaystyle{ x = y = 0}\).

Odnośnie pytania głównego - dla równania

\(\displaystyle{ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0}\)

trzeba znaleźć bazę ortonormalną \(\displaystyle{ \RR^2}\), w której forma kwadratowa

\(\displaystyle{ Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2}\)

się diagonalizuje. Wtedy należy zapisać równanie we współrzędnych odpowiadających nowej bazie:

\(\displaystyle{ \lambda (x')^2 + \mu (y')^2 + d' x' + e' y' + f = 0}\)

a dalsze postępowanie zależy od tego, które z liczb \(\displaystyle{ \lambda, \mu}\) są zerowe.

[Debet]

Racja, powinno być \(\displaystyle{ 1}\) po prawej stronie równania, wówczas otrzymamy dwie równoległe proste.