Witam, poproszę o pomoc z zadaniem:
"Strzelec znajduje się w odległości \(\displaystyle{ d}\) od nieskończonego muru. Strzelec oddaje strzał w kierunku muru, a kąt strzału między torem lotu pocisku, a linią prostopadłą to muru, ma rozkład jednostajny w przedziale \(\displaystyle{ \left( - \frac{ \pi }{2} , \frac{ \pi }{2} \right)}\) . Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ x}\) - czyli odległości od miejsca trafienia, do punktu odniesienia, leżącego na styku linii prostopadłej do muru z murem".
Zmienna losowa- strzał w mur.
-
kamael666
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 28 lis 2015, o 13:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 8 razy
Zmienna losowa- strzał w mur.
Ostatnio zmieniony 20 maja 2019, o 12:19 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Zmienna losowa- strzał w mur.
Równania trajektorii lotu pocisku (rzut ukośny)
\(\displaystyle{ x(t) = (v_{0}\cos(\theta))t, \ \ y(t) = (v_{0}\sin(\theta))t - \frac{gt^2}{2}.}\)
Zasięg lotu pocisku obliczamy z równań:
\(\displaystyle{ y(t_{0}) = 0}\)
dla
\(\displaystyle{ t_{0} = \frac{2v_{0}\sin(\theta)}{g}}\)
\(\displaystyle{ x(t_{0}) = \frac{2v^2_{0}}{g}\sin(\theta)\cos(\theta) = \frac{v^2_{0}}{g}\sin(2\theta).}\)
Kładąc \(\displaystyle{ K = \frac{v^2_{0}}{g},}\) otrzymuje rozkład zmiennej losowej odległości od miejsca trafienia do punktu odniesienia w zależności od miary kąta \(\displaystyle{ \theta \ \ X = K\sin(2\theta).}\)
Funkcja \(\displaystyle{ \sin(2\theta)}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{4},}\)
stąd wynika, że jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ \theta}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ \left[0, \frac{\pi}{4} \right] \subset \left (-\frac{\pi}{2}, \ \ \frac{\pi}{2}\right),}\) to zmienne losowe \(\displaystyle{ X = K\sin(2\theta), \ \ Y = K\sin(2 X)}\) mają ten sam rozkład.
Przyjmując \(\displaystyle{ d(x) = K\sin(2x)}\) i wyznaczając \(\displaystyle{ x}\) z równania \(\displaystyle{ y = K\sin(x),}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ h(y) =\frac{1}{2}\arc\sin\left(\frac{y}{K}\right).}\)
Ze wzoru na gęstość funkcji zmiennej losowej
\(\displaystyle{ g(h) = f(h(y))\cdot h'(y) , \ \ y\in (\alpha, \beta ),}\) po uwzględnieniu wzoru na pierwszą pochodną funkcji \(\displaystyle{ \arcsinus,}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ g(y) = f(h(y))\cdot h'(y) = \frac{4}{\pi}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{y^2}{K^2}}}\cdot \frac{1}{K} = \frac{2}{\pi\sqrt{K^2 -y^2}}, \ \ 0< y < K.}\)
\(\displaystyle{ x(t) = (v_{0}\cos(\theta))t, \ \ y(t) = (v_{0}\sin(\theta))t - \frac{gt^2}{2}.}\)
Zasięg lotu pocisku obliczamy z równań:
\(\displaystyle{ y(t_{0}) = 0}\)
dla
\(\displaystyle{ t_{0} = \frac{2v_{0}\sin(\theta)}{g}}\)
\(\displaystyle{ x(t_{0}) = \frac{2v^2_{0}}{g}\sin(\theta)\cos(\theta) = \frac{v^2_{0}}{g}\sin(2\theta).}\)
Kładąc \(\displaystyle{ K = \frac{v^2_{0}}{g},}\) otrzymuje rozkład zmiennej losowej odległości od miejsca trafienia do punktu odniesienia w zależności od miary kąta \(\displaystyle{ \theta \ \ X = K\sin(2\theta).}\)
Funkcja \(\displaystyle{ \sin(2\theta)}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{4},}\)
stąd wynika, że jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ \theta}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ \left[0, \frac{\pi}{4} \right] \subset \left (-\frac{\pi}{2}, \ \ \frac{\pi}{2}\right),}\) to zmienne losowe \(\displaystyle{ X = K\sin(2\theta), \ \ Y = K\sin(2 X)}\) mają ten sam rozkład.
Przyjmując \(\displaystyle{ d(x) = K\sin(2x)}\) i wyznaczając \(\displaystyle{ x}\) z równania \(\displaystyle{ y = K\sin(x),}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ h(y) =\frac{1}{2}\arc\sin\left(\frac{y}{K}\right).}\)
Ze wzoru na gęstość funkcji zmiennej losowej
\(\displaystyle{ g(h) = f(h(y))\cdot h'(y) , \ \ y\in (\alpha, \beta ),}\) po uwzględnieniu wzoru na pierwszą pochodną funkcji \(\displaystyle{ \arcsinus,}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ g(y) = f(h(y))\cdot h'(y) = \frac{4}{\pi}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{y^2}{K^2}}}\cdot \frac{1}{K} = \frac{2}{\pi\sqrt{K^2 -y^2}}, \ \ 0< y < K.}\)