Warunek Lipschitza

[Monikasm98]

Hej, mam problem z wyznaczeniem obszaru w którym funkcja \(\displaystyle{ \frac{x}{1+y ^{2} }}\)spełnia warunek Lipschitza względem x i z wyznaczeniem stałej L. Czy byłby w stanie ktoś pomóc? Lub chociaż dać jakąś wskazówkę do rozwiązania tego zadania?

[matmatmm]

Próbowałaś rozpisać \(\displaystyle{ \left| f(x_1,y)-f(x_2,y)\right|}\) ? Jakieś wnioski?

[Monikasm98]

Próbowałam to rozpisać ale żadne wnioski nie przychodzą mi do głowy ani też sposób jak to można ograniczyć

[matmatmm]

Wnioski narzucają się same, a zadanie jest na jedną linijkę.

\(\displaystyle{ \left| f(x_1,y)-f(x_2,y)\right|=\left| \frac{x_1}{1+y^2}-\frac{x_2}{1+y^2}\right| =\frac{1}{1+y^2}|x_1-x_2|}\)

Z tej postaci coś już widzisz? Jak można ograniczyć \(\displaystyle{ \frac{1}{1+y^2}}\) ?

[Monikasm98]

Można to ograniczyć przez 1 tak?

[matmatmm]

Tak. Dokładnie.

[Monikasm98]

Dziękuję bardzo!-- 19 maja 2019, o 12:55 --A względem y postępowanie byłoby takie samo? Bo względem y dużo gorzej wygląda rozpisanie tego