Hej, mam problem z tymi zadaniami nie wiem do końca jak się za to zabrać. Mógłby ktoś mi to jakoś rozjaśnić??
Gęstość \(\displaystyle{ g_{a,\lambda}(x)=\lambda^{\alpha}x^{\alpha -1}\Gamma(\alpha)^{-1}e^{- \lambda x}}\) nazywamy gęstością gamma z parametrami \(\displaystyle{ \alpha>0, \lambda>0}\), (rozklad o tej gęstości oznaczamy \(\displaystyle{ \gamma( \alpha,\lambda )}\)), gdzie \(\displaystyle{ \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}x^{\alpha -1}e^{-x}dx.}\)
Pokaz, ze
\(\displaystyle{ g_{\alpha_1,\lambda} \cdot g_{\alpha_2,\lambda} = g_{\alpha_1+\alpha_2,\lambda}.}\)
gestosci studia
gestosci studia
Ostatnio zmieniony 15 maja 2019, o 21:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
gestosci studia
Masz zweryfikować prawdziwość równości
\(\displaystyle{ \lambda^{\alpha_1+\alpha_2}x^{\alpha_1+\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda x}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)= \\=\int_{\RR}^{}\lambda^{\alpha_1}(x-y)^{\alpha_1-1}\Gamma(\alpha_1)^{-1}e^{-\lambda (x-y)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)\lambda^{\alpha_2}y^{\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda y}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)\,\dd y}\)
Zauważmy, że zachodzi równość
\(\displaystyle{ }1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)=}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,x)}(y)}\),
toteż tę całkę możesz zapisać jako
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}\lambda^{\alpha_1}(x-y)^{\alpha_1-1}\Gamma(\alpha_1)^{-1}e^{-\lambda (x-y)}\lambda^{\alpha_2}y^{\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda y}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)\,\dd y}\)
Dalej wyciągnij przed całkę wszystko, co się da, korzystając z liniowości całki oznaczonej, po czym podstaw \(\displaystyle{ y=tx}\) (tj. \(\displaystyle{ t}\) jest nową zmienną), co sprowadzi całeczkę do funkcji beta z parametrami \(\displaystyle{ \alpha_2-1, \ \alpha_1-1}\). Następnie korzystasz
z \(\displaystyle{ \mathrm{B}(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}}\) i koniec.
\(\displaystyle{ \lambda^{\alpha_1+\alpha_2}x^{\alpha_1+\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda x}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)= \\=\int_{\RR}^{}\lambda^{\alpha_1}(x-y)^{\alpha_1-1}\Gamma(\alpha_1)^{-1}e^{-\lambda (x-y)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)\lambda^{\alpha_2}y^{\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda y}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)\,\dd y}\)
Zauważmy, że zachodzi równość
\(\displaystyle{ }1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)=}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,x)}(y)}\),
toteż tę całkę możesz zapisać jako
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}\lambda^{\alpha_1}(x-y)^{\alpha_1-1}\Gamma(\alpha_1)^{-1}e^{-\lambda (x-y)}\lambda^{\alpha_2}y^{\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda y}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)\,\dd y}\)
Dalej wyciągnij przed całkę wszystko, co się da, korzystając z liniowości całki oznaczonej, po czym podstaw \(\displaystyle{ y=tx}\) (tj. \(\displaystyle{ t}\) jest nową zmienną), co sprowadzi całeczkę do funkcji beta z parametrami \(\displaystyle{ \alpha_2-1, \ \alpha_1-1}\). Następnie korzystasz
z \(\displaystyle{ \mathrm{B}(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}}\) i koniec.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
gestosci studia
Dodatkowo, w oparciu funkcję generującą momenty rozkładu \(\displaystyle{ \Gamma(\alpha, \lambda)}\)
\(\displaystyle{ M(t,\alpha, \lambda) = Ee^{tX} = \int_{0}^{\infty}e^{tx}g(x, \alpha, \lambda})dx}\)
\(\displaystyle{ M(t,\alpha, \lambda) = \int_{0}^{+\infty} e^{tx}\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\lambda t}dx}\)
\(\displaystyle{ M(t,\alpha, \lambda) = \frac{\lambda^{\apha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-(\lambda -t )x} dx = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\cdot \frac{\Gamma(\alpha)}{(\lambda - t)^{\alpha}}= \frac{1}{\left( 1-\frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha}}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ X \sim \Gamma(\alpha_{1},\lambda), \ \ Y \sim \Gamma(\alpha_{2}, \lambda)}\),
to z własności funkcji generujących momenty
\(\displaystyle{ M_{X+Y}(t) = \frac{1}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha_{1}}}\cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha_{2}}}=\frac{1}{\left( 1- \frac{t}{\lambda}\right)^ {\alpha_{1}+ \alpha_{2}}}}\)
\(\displaystyle{ X + Y \sim \Gamma(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \lambda)}\)
\(\displaystyle{ M(t,\alpha, \lambda) = Ee^{tX} = \int_{0}^{\infty}e^{tx}g(x, \alpha, \lambda})dx}\)
\(\displaystyle{ M(t,\alpha, \lambda) = \int_{0}^{+\infty} e^{tx}\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\lambda t}dx}\)
\(\displaystyle{ M(t,\alpha, \lambda) = \frac{\lambda^{\apha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-(\lambda -t )x} dx = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\cdot \frac{\Gamma(\alpha)}{(\lambda - t)^{\alpha}}= \frac{1}{\left( 1-\frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha}}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ X \sim \Gamma(\alpha_{1},\lambda), \ \ Y \sim \Gamma(\alpha_{2}, \lambda)}\),
to z własności funkcji generujących momenty
\(\displaystyle{ M_{X+Y}(t) = \frac{1}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha_{1}}}\cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha_{2}}}=\frac{1}{\left( 1- \frac{t}{\lambda}\right)^ {\alpha_{1}+ \alpha_{2}}}}\)
\(\displaystyle{ X + Y \sim \Gamma(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \lambda)}\)