Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth »

Załóżmy, że funkcje \(\displaystyle{ f, \ g}\) mają funkcje pierwotne na pewnym przedziale. Czy z tego wynika, że funkcja \(\displaystyle{ f \cdot g}\) ma funkcję pierwotną na tym przedziale?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

TorrhenMathMeth pisze:Bo rozumiem, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) dla liczb ujemnych nie ma funkcji pierwotnej?
A skąd ten odważny wniosek?

JK
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth »

Wycofałem się z tego. Chwila zaćmienia to spowodowała
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: Mariusz M »

Jan Kraszewski, pewnie zapomniał o module
pamiętając o dziedzinie
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: matmatmm »

Mam pewną propozycję na kontrprzykład do tego zadania, ale nie potrafię dociągnąć dowodu do końca i nie jestem pewien, czy faktycznie jest to dobry kontrprzykład. Może ktoś mądrzejszy da radę.

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}\left| \sin\left( \frac{1}{x^2}\right)\right|}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Niech \(\displaystyle{ F_1, F_2}\) oznaczają pewne funkcje pierwotne do funkcji \(\displaystyle{ f}\) odpowiednio na przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,\infty)}\). Potrafię udowodnić, że \(\displaystyle{ F_1}\) ma granicę prawostronną w zerze, a \(\displaystyle{ F_2}\) ma granicę lewostronną w zerze. Można więc "skleić" te funkcje i uzupełnić wartość w zerze tzn. istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ F:\RR\rightarrow\RR}\) taka, że \(\displaystyle{ \left( F|_{(-\infty,0)}\right)'=f |_{(-\infty,0)}}\) oraz \(\displaystyle{ \left( F|_{(0,\infty)}\right)'=f |_{(0,\infty)}}\). Jedyne, czego nie potrafię udowodnić i nie jestem pewien że to prawda, to że \(\displaystyle{ F}\) jest różniczkowalna w zerze.

Analogicznie definiuję \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}\left| \cos\left( \frac{1}{x^2}\right)\right|}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i wydaje mi się, że można tu zastosować podobną procedurę, chociaż tego akurat nie przeliczyłem.

Funkcje \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) można rozszerzyć przyjmując w zerze wartości pochodnych (o ile faktycznie te funkcje pierwotne są różniczkowalne w zerze). Wówczas funkcja \(\displaystyle{ f\cdot g}\) ma wzór \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right|}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i niezależnie od wartości w zerze potrafię udowodnić, że nie ma ona funkcji pierwotnej.
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth »

matmatmm pisze:Wówczas funkcja \(\displaystyle{ f\cdot g}\) ma wzór \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right|}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i niezależnie od wartości w zerze potrafię udowodnić, że nie ma ona funkcji pierwotnej.
Hmmm, no dobrze, ale ta funkcja jest ciągła na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) z wyjątkiem skończonej ilości punktów, a dokładnie z wyjątkiem 0, zresztą nawet nie jest tam określona. Skoro zatem jest ciągła to na pewno ma funkcję pierwotną.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: matmatmm »

Przeczytaj uważnie. Ja tę funkcję rozszerzam na całe \(\displaystyle{ \RR}\) tzn. określam dodatkowo wartość w zerze. Po takim rozszerzeniu nie jest ciągła w zerze i nie ma funkcji pierwotnej.
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth »

Dlaczego? Jak to pokazać?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: matmatmm »

Trzeba pokazać, że

\(\displaystyle{ \lim_{u\to 0^{+}}\int\limits_u^1\left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| \dd x=+\infty}\)
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska
Podziękował: 19 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: TorrhenMathMeth »

A to z kolei czemu udowadnia brak funkcji pierwotnej? Wybacz że nie wierzę na słowo ale nauczyłem się poddawać w wątpliwość takie rzeczy.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Funkcja pierwotna iloczynu funkcji

Post autor: matmatmm »

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ G}\) funkcję pierwotną do \(\displaystyle{ x\mapsto \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right|}\) na zbiorze \(\displaystyle{ (0,1]}\) (istnieje bo ta funkcja jest ciągła).

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f\cdot g}\) (uzupełniona o wartość w zerze, czyli określona na całym \(\displaystyle{ \RR}\)) ma funkcję pierwotną \(\displaystyle{ H}\). Wówczas

\(\displaystyle{ H|_{(0,1]}=G +c}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c\in\RR}\). Dalej mamy


\(\displaystyle{ +\infty=\lim_{u\to 0^{+}}\int\limits_u^1\left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| \dd x=\lim_{u\to 0^{+}}\left( G(1)-G(u)\right)=\lim_{u\to 0^{+}}\left( H(1)-H(u)\right)=H(1)-\lim_{u\to 0^{+}}H(u)}\)

Jest to sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ H}\) jest ciągła w zerze.
ODPOWIEDZ