Pole ograniczone krzywą

[math196]

Obliczyłem pole ograniczone krzywą \(\displaystyle{ |x|^a+|y|^a=1}\) w granicach od 0 do 1 i nie wiem czy wynik jest poprawny. Obliczyłem pole ćwiartki ze względu na symetrię. Obliczając całkę najpierw sprowadzając do funkcji beta a potem do funkcji gamma wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2a} \frac{\Gamma^2(1/a)}{\Gamma(2/a)}}\) i nie wiem czy wynik jest poprawny i czy trzeba jeszcze to pomnożyć przez 4 ?

[a4karo]

Sprawdź dla \(\displaystyle{ a=2}\) czy otrzymujesz pole kołą, czy też jego części.

[math196]

a4karo, Wychodzi \(\displaystyle{ \pi/4}\).A mie powinno wyjść \(\displaystyle{ \pi}\)?

[a4karo]

Nie wiem co powinno być, bo nie wiem co liczyłeś. Sformułowanie: w granicach od 0 do 1 jest mało precyzyjne

[math196]

a4karo, Liczyłem pole ograniczone krzywą \(\displaystyle{ |x|^a+|y|^a=1}\). Z tego wyliczyłem \(\displaystyle{ y=(1-x^a)^{1/a}}\) .Ze względu na symetrię liczę pole tylko względem jednej ćwiartki więc w granicach od 0 do 1. Obliczając całkę najpierw sprowadzając do funkcji beta a potem do funkcji gamma wyszedł mi wynik, który podałem wyżej. I czy ten wynik mam pomnożyć jeszcze przez 4 ?

[a4karo]

Tak