Do rzeki o szerokości \(\displaystyle{ a = 15m}\) dochodzi pod kątem prostym kanał o szerokości \(\displaystyle{ b =
4m}\) . Znaleźć długość największej kłody drewna (szerokość zaniedbujemy), którą można spławić tym kanałem.
Prosiłabym o pomoc z tym zadaniem
Największa kłoda drewna
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Największa kłoda drewna
Znajdujemy ekstremum lokalne funkcji
\(\displaystyle{ l(\phi) = \frac{a}{\sin(\phi)} + \frac{b}{\cos(\phi)}}\) (rysunek)
dla
\(\displaystyle{ \phi^{*} = \arctg\left( \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)}\)
i największą długość kłody równą
\(\displaystyle{ l_{max} = l(\phi^{*})= \left( a^{\frac{2}{3}} +b^{\frac{2}{3}}\right )^{\frac{3}{2}} m.}\)
\(\displaystyle{ l(\phi) = \frac{a}{\sin(\phi)} + \frac{b}{\cos(\phi)}}\) (rysunek)
dla
\(\displaystyle{ \phi^{*} = \arctg\left( \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)}\)
i największą długość kłody równą
\(\displaystyle{ l_{max} = l(\phi^{*})= \left( a^{\frac{2}{3}} +b^{\frac{2}{3}}\right )^{\frac{3}{2}} m.}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Największa kłoda drewna
Wrzućmy to w układ współrzędnych. Rzeka to pas \(\displaystyle{ 0 \le x \le 15}\), a kanał to część pasa \(\displaystyle{ 0 \le y \le 4}\) leżąca w I ćwiartce. Najdłuższa kłoda to najkrótszy odcinek jaki dodatnie półosie układu współrzędnych odcinają z prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ \left( 15,4 \right)}\).
Równanie tych prostych to: \(\displaystyle{ y-4=a \left( x-15 \right) \ \ \wedge \ \ a<0}\)
Przechodzą one przez punkty: \(\displaystyle{ \left( 0,-15a+4 \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{15a-4}{a}, 0 \right)}\)
Odległość między nimi to:
\(\displaystyle{ d \left( a \right) = \sqrt{ \left( \frac{15a-4}{a} \right) ^2+ \left( 15a-4 \right) ^2} =\sqrt{ \left( 15a-4 \right) ^2 \left( 1+ \frac{1}{a^2} \right) }}\)
Osiąga ona minimum dla:
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{ \frac{-4}{15} }}\)
więc najdłuższa kłoda ma długość: \(\displaystyle{ d \left( \sqrt[3]{ \frac{-4}{15} } \right) =...}\)
Równanie tych prostych to: \(\displaystyle{ y-4=a \left( x-15 \right) \ \ \wedge \ \ a<0}\)
Przechodzą one przez punkty: \(\displaystyle{ \left( 0,-15a+4 \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{15a-4}{a}, 0 \right)}\)
Odległość między nimi to:
\(\displaystyle{ d \left( a \right) = \sqrt{ \left( \frac{15a-4}{a} \right) ^2+ \left( 15a-4 \right) ^2} =\sqrt{ \left( 15a-4 \right) ^2 \left( 1+ \frac{1}{a^2} \right) }}\)
Osiąga ona minimum dla:
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{ \frac{-4}{15} }}\)
więc najdłuższa kłoda ma długość: \(\displaystyle{ d \left( \sqrt[3]{ \frac{-4}{15} } \right) =...}\)
Ostatnio zmieniony 14 maja 2019, o 17:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.