Udowodnij nierówność

[math196]

Czy pomógłby mi ktoś w udowodnieniu tej nierówności?
Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ m,n}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} \le \frac{m!}{m^m} \frac{n!}{n^n}}\)

[Premislav]

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ m\in \NN^+}\) i przeprowadźmy indukcję po \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\).

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{(m+1)!}{(m+1)^{m+1}} \le \frac{m!}{m^m} \ (*)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ (m+1)!=(m+1)\cdot m!}\), więc skracamy, co się da, mnożymy przez mianowniki i mamy równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ m^m\le (m+1)^m\\ m\le m+1}\)
co jest oczywiste. Z uwagi na równoważność przekształceń nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) jest prawdziwa.

\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} \le \frac{m!}{m^m} \frac{n!}{n^n}}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \frac{(m+n+1)!}{(m+n+1)^{m+n+1}}= \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}}\cdot \left( \frac{m+n}{m+n+1} \right)^{m+n}\le \\ \le \frac{m!n!}{m^mn^n}\left( \frac{m+n}{m+n+1}\right)^{m+n}}\)
i wystarczy wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{m!n!}{m^mn^n}\left( \frac{m+n}{m+n+1}\right)^{m+n}\le \frac{m!}{m^m} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}\)
a równoważnie:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\le\left( 1+\frac{1}{m+n}\right)^{m+n} \ (\heartsuit)}\)
Ale z nierówności Bernoulliego mamy:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{m+n}\right)^{\frac{m+n}{n}}\ge 1+\frac{1}{m+n}\cdot \frac{m+n}{n}=1+\frac 1 n}\)
i podnosząc tę nierówność stronami do potęgi \(\displaystyle{ n}\), dostajemy \(\displaystyle{ (\heartsuit)}\).
To kończy dowód kroku indukcyjnego.
Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej uzyskaliśmy, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ m\in \NN^+}\), dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} \le \frac{m!}{m^m} \frac{n!}{n^n}}\), czyli teza zadania.

[math196]

Premislav, Chciałem się zapytać z jakiego źródła pochodzi ten dowód ?

[Premislav]

math196, z mojej żałosnej, tępej, pustej głowy. Pewne (niewielkie wszak) podobieństwo do LX/I/11 z polskiej Olimpiady Matematycznej sugeruje mi, że powinien też być wykonalny nieindukcyjny dowód ze sprytnym zastosowaniem nierówności między średnimi, ale nie udało mi się takowego wymyślić.

[math196]

Premislav, A wiesz jak obliczyć pole powierzchni po krzywej \(\displaystyle{ |x|^a+|y|^a=1}\), gdzie wyliczamy y i całkujemy względem jednej ćwiartki ze względu na symetrię ?

[Jan Kraszewski]

Premislav, A wiesz jak obliczyć pole powierzchni po krzywej \(\displaystyle{ |x|^a+|y|^a=1}\), gdzie wyliczamy y i całkujemy względem jednej ćwiartki ze względu na symetrię ?

440803.htm

Nie rób crossoverów! Jak chcesz zapytać, zawsze możesz napisać PW.

JK

[timon92]

dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ (x+y)^{m+n} = \sum_{k=0}^{m+n} {m+n \choose k}x^ky^{m+n-k}}\)

gdy \(\displaystyle{ x,y}\) są nieujemne to po opuszczeniu niektórych składników sumy stojącej po lewej otrzymujemy \(\displaystyle{ (x+y)^{m+n} = \sum_{k=0}^{m+n} {m+n \choose k}x^ky^{m+n-k} \ge {m+n \choose m}x^my^n}\)

podstawmy \(\displaystyle{ x=m}\) oraz \(\displaystyle{ y=n}\), otrzymujemy

\(\displaystyle{ (m+n)^{m+n} \ge {m+n \choose m}m^mn^n = \frac{(m+n)!}{m!n!}m^mn^n}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} \le \frac{m!}{m^m}\cdot \frac{n!}{n^n}}\)