Zmienna losowa X

[max123321]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład z gęstością \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{2}1_{\left[ -1,0\right]}+ \frac{1}{4}1_{(0,2]}(x)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \PP (2X^2 \ge X+1)}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ \PP (2X^2 \ge X+1)=\PP (2X^2-X-1 \ge 0)=\PP (2(X+1/2)(X-1) \ge 0)=}\)
\(\displaystyle{ =\PP (X+1/2 \ge 0 \wedge X-1 \ge 0 \vee X+1/2 \le 0 \wedge X-1 \le 0)=}\)
\(\displaystyle{ =\PP (X \ge -1/2 \wedge X \ge 1 \vee X \le -1/2 \wedge X \le 1)=\PP (X \ge 1)+\PP (X \le -1/2)}\)

No i liczę dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{x}g(s)ds= \begin{cases} 0 &\text{ dla } x<-1 \\ \int_{-1}^{x} \frac{1}{2}ds= \frac{1}{2}(x+1) &\text{ dla } -1 \le x<0 \\ \frac{1}{2}+ \int_{0}^{x} \frac{1}{4} ds = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}x &\text{ dla } 0 \le x<2 \\ 1 &\text{ dla } 2 \le x \end{cases}}\)

Czyli to prawdopodobieństwo, które pytają wynosi:
\(\displaystyle{ \PP (X \ge 1)+\PP (X \le -1/2)=1-F(1)+F(-1/2)=1-3/4+1/4= \frac{1}{2}}\)

Czy tak jest dobrze?

[Premislav]

Tak.