Rzucamy kostką

[max123321]

Rzucamy kostką do momentu uzyskania dwójki oraz trójki (łącznie, niekoniecznie pod rząd). Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy więcej niż piętnaście razy?

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Prawdopodobieństwo z zadania równe jest temu, że podczas pierwszych piętnastu rzutów będą wypadały dwójki w dowolnej liczbie, ale nie wypadnie ani razu trójka lub odwrotnie. Prawdopodobieństwo, że nie wypadnie, ani razu dwójka, ani trójka jest równe \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3} \right)^{15}}\). Prawdopodobieństwo, że wypadnie jedna dwójka i ani razu trójka wynosi \(\displaystyle{ {15 \choose 1} \frac{1}{6}\left( \frac{2}{3} \right)^{14}}\). Prawdopodobieństwo, że wypadną dwie dwójki i ani razu trójka wynosi \(\displaystyle{ {15 \choose 2} (\frac{1}{6})^2\left( \frac{2}{3} \right)^{13}}\) i tak dalej. Analogiczne prawdopodobieństwa dla wyrzuconych trójek przy warunku, że nie wypadnie ani razu dwójka są takie same, zatem prawdopodobieństwo o które chodzi w zadaniu wynosi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3} \right)^{15}+2 \left( {15 \choose 1} \frac{1}{6}\left( \frac{2}{3} \right)^{14}+{15 \choose 2} \left( \frac{1}{6} \right) ^2\left( \frac{2}{3} \right)^{13}+...+ {15 \choose 15}\left( \frac{1}{6} \right)^{15}\right)}\)

Czy tak jest dobrze?

[MrCommando]

A nie wygodniej po prostu powiedzieć, że prawdopodobieństwo tego, że wypadnie ani razu trójka jest równe \(\displaystyle{ \left(\frac{5}{6}\right)^{15}}\)? Wtedy wynik to będzie \(\displaystyle{ 2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{15}-\left(\frac{2}{3}\right)^{15}}\) (musimy odjąć prawdopodobieństwo tego, że nie wypadnie ani dwójka, ani trójka, bo policzyliśmy je dwukrotnie - zasada włączeń i wyłączeń tak naprawdę).

Za pomocą wzoru dwumianowego Newtona łatwo się przekonasz, że Twój wynik jest taki sam jak to co ja napisałem.

[max123321]

No faktycznie! Mądre to jest. Nie zauważyłem tego na początku. Faktycznie zgadza się to też z tym co Ty napisałeś.