Funkcjonał liniowy-norma

[Dejvid96]

Znajdź normę funkcjonału liniowego:
\(\displaystyle{ f:l^p\rightarrow\mathbb{R},p>1, f(x_1,x_2,x_3,...)=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{4}x_2+\frac{1}{8}x_3+...}\)
\(\displaystyle{ |f(x_1,x_2,x_3,...)|=\left| \frac{1}{2}x_1+\frac{1}{4}x_2+\frac{1}{8}x_3+...\right| \le \left| \frac{1}{2}x_1\right| +\left| \frac{1}{4}x_2\right| +\left| \frac{1}{8}x_3\right|+...=\sum_{n=1}^\infty\left| \frac{1}{2^n}x_n\right| \le\Big(\sum_{n=1}^\infty|x_n|^p\Big)^{\frac{1}{p}}\Big(\sum_{n=1}^\infty\left| \frac{1}{2^n}\right| ^q\Big)^{\frac{1}{q}}}\)
Czy to jest najbardziej optymalnie zrobione zadanie? Chodzi mi głównie o stałą Lipschitza

[Premislav]

Tak. Wystarczy wskazać ciąg z \(\displaystyle{ \ell^p}\), dla którego zachodzi równość w obu tych nierównościach, zdaje się działa po prostu \(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{2^n}}\)

BTW przysłówek „optymalnie" nie ma stopniowania, jeśli coś jest optymalne, to nie można tego poprawić.