Witam,mam do przeanalizowania model Verhulsta i nie wiem czy do końca dobrze wyciągam wnioski.
Czy zgadzacie się z moimi obliczeniami ?
Model jest postaci
\(\displaystyle{ N'(t)=rN(t)\left[ 1-\frac{N{t}}{K}\right]}\)
,gdzie:
r - współczynnik rozrodczości populacji,
K- pojemność środowiska.
Korzystając z metody zmiennych rozdzielonych, dostajemy rozwiązanie naszego równania postaci
\(\displaystyle{ N(t)=\frac{N_0Ke^{rt}}{K+N_{0}\left( e^{rt}-1\right) }}\).
Dalej, obliczamy punkty krytyczne
\(\displaystyle{ 0=rN\left[ 1-\frac{N}{K}\right]}\).
Wówczas otrzymujemy \(\displaystyle{ N=0 \wedge N=K}\).
W powyższym linku można znaleźć wykres funkcji \(\displaystyle{ f(N)=rN\left[ 1-\frac{N}{K}\right]}\) oraz portret fazowy.
Z wykresu funkcji wiemy, że:
\(\displaystyle{ N'(t)>0}\) dla \(\displaystyle{ N<K}\) czyli populacja wzrasta, ale może powiększyć się tylko do pojemności środowiska K.
\(\displaystyle{ N'(t)<0}\) dla \(\displaystyle{ N>K}\) czyli populacja maleje po tym jak osiąga pojemność środowiska.
Dzięki portretowi fazowego, możemy zauważyć, że wszystkie rozwiązania zbiegają do punktu \(\displaystyle{ K}\). Czy możemy powiedzieć, że jest on asymptotycznie stabilny?
Aby dokładniej przeanalizować nasz model, obliczamy drugą pochodna, która jest równa
\(\displaystyle{ N''(t)=rN'(t)\left[ 1-\frac{2N(t)}{K}\right]}\).
Przyrównując drugą pochodną do zera, otrzymujemy
\(\displaystyle{ N=\frac{K}{2}}\).
Ponieważ przyrównując naszą drugą pochodną do zera mieliśmy, że N jest ujemne (\(\displaystyle{ 0=1-\frac{2N}{K}}\)). Zaczynamy więc rysowanie szkicu naszej pochodnej od dołu. Dostajemy wówczas, że:
- dla \(\displaystyle{ N_0 \in (0,\frac{K}{2})}\) funkcja jest wypukła.
Ostatecznie obliczając przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ f(N)}\) otrzymujemy:
- dla \(\displaystyle{ N_0 \in (0,\frac{K}{2})}\) otrzymujemy funkcję rosnącą i wypukłą,
- dla \(\displaystyle{ N_0 \in (\frac{K}{2},K)}\) otrzymujemy funkcję rosnącą i wklęsłą,
- dla \(\displaystyle{ N_0 \in (k,+ \infty )}\) otrzymujemy funkcję malejącą i wklęsła.