Dane są punkty. Napisać równanie parametryczne płaszczyzny.

[Kokoriko]

Dane są punkty \(\displaystyle{ A=(2,2,0), B=(2,0,2), C=(0,2,2)}\). Niech \(\displaystyle{ \pi}\) będzie płaszczyzną przechodzącą przez te punkty.
a) Napisać równanie parametryczne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).
b) Napisać równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).
c) Napisać równanie prostej l przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).
d) Obliczyć odległość płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)od początku układu współrzędnych.

Moja próba
b)
Korzystam z:
\(\displaystyle{ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0}\)

\(\displaystyle{ A-B= (0,2,-2) \\
B-C= (2,-2,0) \\
AB \times BC = (2 \cdot 0-(-2) \cdot (-2);-2 \cdot 2-0 \cdot 0;0 \cdot (-2)-2 \cdot 2)=(-4;-4;-4)}\)

Równanie:
\(\displaystyle{ -4(x-2)-4(y-2)-4(z-0)=0 \ /:4 \\
-x+2-y+2-z=0 \\
-x-y-z+4=0 \cdot (-1) \\
x+y+z-4=0}\)

Czy jest to zrobione dobrze?
Jest to ostatnie zadanie którego muszę się nauczyć a nie mogę znaleźć podobnych przykładów, mógłby ktoś pokazać jak zrobić pozostałe podpunkty?

[szw1710]

Skoro punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) spełniają to równanie, a istotnie przedstawia ono płaszczyznę, to wynik masz dobry. A z dokładnością do oznaczeń (odpowiednich wektorów) rozwiązanie masz dobre.

Ukryta treść:    

Nie piszemy \(\displaystyle{ A-B}\), gdyż punktów się nie dodaje, ani nie odejmuje. Działania te wykonujemy na wektorach wodzących tych punktów i tylko formalnie wygląda to na operacje na punktach. Ponadto zamiast \(\displaystyle{ A-B}\) powinieneś napisać \(\displaystyle{ \overrightarrow{BA}.}\) Itp. itd.

[janusz47]

a)
Wybieramy punkt na przykład \(\displaystyle{ A}\) i określamy współrzędne dwóch wektorów kierunkowych płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{AB}, \ \ \vec{AC}}\)

Równanie parametryczne płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \pi: (x,y,z) = A + s\cdot \vec{AB} + t\cdot \vec{AC}, \ \ s, t\in \RR.}\)

b)
Metoda Twoja jest dobra.

Zazwyczaj obliczamy współrzędne wektorów rozpinających płaszczyznę - wychodzących z jednego punktu na przykład z punktu \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} = B - A , \ \ \vec{AC}= C - A,}\)

ale niekoniecznie.

c)
Wektor kierunkowy prostej jest równoległy do wektora prostopadłego płaszczyzny.

Równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(2,2,0)}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)

\(\displaystyle{ l: \frac{x -2}{-4} = \frac{y -2}{-4} = \frac{z-0}{-4}.}\)

d)

Metoda I

Z odległości punktu od płaszczyzny

\(\displaystyle{ d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 +B^2 +C^2}} \ \ (2)}\)

Metoda II

Sprowadzając równanie ogólne płaszczyzny do postaci normalnej

\(\displaystyle{ x\cdot \cos(\alpha) + y\cdot \sin(\beta) + z\cdot \cos(\gamma) -p =0}\)

\(\displaystyle{ d= |p|}\)

Otrzymujemy ten sam wzór \(\displaystyle{ (2).}\)

[Kokoriko]

a)
Wybieramy punkt na przykład \(\displaystyle{ A}\) i określamy współrzędne dwóch wektorów kierunkowych płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{AB}, \ \ \vec{AC}}\)

Równanie parametryczne płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \pi: (x,y,z) = A + s\cdot \vec{AB} + t\cdot \vec{AC}, \ \ s, t\in \RR.}\)


d)

Metoda I

Z odległości punktu od płaszczyzny

\(\displaystyle{ d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 +B^2 +C^2}} \ \ (2)}\)

Metoda II

Sprowadzając równanie ogólne płaszczyzny do postaci normalnej

\(\displaystyle{ x\cdot \cos(\alpha) + y\cdot \sin(\beta) + z\cdot \cos(\gamma) -p =0}\)

\(\displaystyle{ d= |p|}\)

Otrzymujemy ten sam wzór \(\displaystyle{ (2).}\)

a)
\(\displaystyle{ \vec{AB} = [0,-2,2] \\
\vec{AC} = [-2,-0,2]}\)

\(\displaystyle{ x=2+0t-2s \\
y=2-2t+0s \\
z=0+2t+2s}\)

\(\displaystyle{ x=2-2s \\
y=2-2t \\
z=2t+2s}\)

Dobrze?

w d) Nie za bardzo wiem co gdzie podstawiać, czy \(\displaystyle{ A, B, C}\) to \(\displaystyle{ (1,1,1)}\)?
\(\displaystyle{ D=-4}\) ?

[janusz47]

Równanie parametryczne poprawne.

\(\displaystyle{ d= \frac{|-4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 +1^2}} = \frac{4}{\sqrt{3}}= \frac{4\sqrt{3}}{3}.}\)