Punkt kwadratu leży na zewnątrz okręgu

[norbi1952]

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt kwadratu |x| < 4, |y| < 4 jest punktem leżącym na zewnątrz okręgu (x − 4)^2 + y^2 = 32.

Jeśli dobrze rozumiem to wierzchołki kwadratu będą następujące: \(\displaystyle{ \left\{\left[ -4, 4\right]; \left[ 4, 4\right]; \left[ 4, -4\right]; \left[ -4, -4\right]\right\}}\), lecz nie mam pomysłu, w jaki sposób obliczyć pole kwadratu, które leży na zewnątrz okręgu ze względu na promień tego okręgu. Proszę o pomoc.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \leftarrow}\) widać, że część wspólna wnętrza koła i \(\displaystyle{ \Omega}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \text{pola koła}}\) oraz dwa trójkąty prostokątne równoramienne (czyli kwadrat razem) o boku \(\displaystyle{ 4}\). Zatem prawdopodobieństwo tego, że wylosujesz punkt z poza okręgu wynosi:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( \text{punkt poza}\right)=1- \frac{\frac{ \text{pole koła}}{4}+16}{\left| \Omega\right| }}\)

jako, że \(\displaystyle{ \Omega=\left[ -4,4\right]^2}\) to \(\displaystyle{ \left| \Omega\right| =64}\) zostało Ci już tylko podstawianie.

EDIT: pogrubione poprawione.

[norbi1952]

dwa trójkąty prostokątne równoramienne (czyli kwadrat razem) o polu \(\displaystyle{ 4}\)

Bok tego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 4}\), czyli pole jednego powinno być równe \(\displaystyle{ P = \frac{ah}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = \frac{16}{2} = 8}\), a ich łączne pole \(\displaystyle{ 16}\), prawda?

[Janusz Tracz]

Zgadza się, masz racje.-- 5 maja 2019, o 14:44 --Miało być o "boku \(\displaystyle{ 4}\)" a nie o "polu \(\displaystyle{ 4}\)"