Model Malthusa

[gms]

Cześć, mam problem z rozwiązaniem modelu w którym bierzemy pod uwagę migrację niezależną od czasu:
\(\displaystyle{ N'(t)= r_{n}N(t)-m}\).

Chciałam skorzystać z metody uzmienniania stałych ale coś mi nie wychodzi.
Odpowiedź to
\(\displaystyle{ N(t)= \frac{m}{r_{n}}+\left( N_{0}-\frac{m}{r_{n}}\right)e^{r_{n}t}.}\)

[Janusz Tracz]

Metod jest kilka dla przykładu dwie najbardziej standardowe:

z uzmiennieniem:    

Zaczynamy od równania jednorodnego czyli

\(\displaystyle{ N'(t)-r_nN(t)=0}\)

rozwiązując to za za pomocą zmiennych rozdzielonych mamy kolejno:

\(\displaystyle{ \frac{N'(t)}{N(t)}=r_n}\)

\(\displaystyle{ \ln \left| CN(t)\right|=r_nt}\)

\(\displaystyle{ \blue{N(t)=Ce^{r_nt}}}\)

Wstawiając to do pierwotnego równania przy założeniu, że \(\displaystyle{ C=C(t)}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ r_nCe^{r_nt}+C'e^{r_nt}=Cr_ne^{r_nt}-m}\)

zatem

\(\displaystyle{ C'(t)=-me^{-r_nt}}\)

co po scałkowaniu daje

\(\displaystyle{ C(t)= \frac{me^{-r_nt}}{r_n}+\mathcal{C}}\)

Wracając z tym do niebieskiego równania otrzymamy

\(\displaystyle{ N(t)= \frac{m}{r_n}+\mathcal{C}e^{r_nt}}\)

A kładąc warunek początkowy \(\displaystyle{ N(0)=N_0}\) dostajemy wartość, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}=N_0- \frac{m}{r_n}}\) stąd ostatecznie faktycznie zachodzi wzór

\(\displaystyle{ N(t)= \frac{m}{r_{n}}+\left( N_{0}-\frac{m}{r_{n}}\right)e^{r_{n}t}}\)

bez uzmienniania:    

Ja osobiście wybrał tą metodę bo jest szybsza ale to kwestia przyzwyczajenia. Równanie

\(\displaystyle{ N'(t)= r_{n}N(t)-m}\)

pomnóżmy stronami przez \(\displaystyle{ e^{-r_nt}}\) i zapiszmy

\(\displaystyle{ N'(t)e^{-r_nt}-r_ne^{-r_nt}N(t)=-me^{-r_nt}}\)

Zauważmy, że lewa strona zwija się do pochodnej iloczynu

\(\displaystyle{ \left( N(t)e^{-r_nt}\right)'=-me^{-r_nt}}\)

zatem

\(\displaystyle{ N(t)= \frac{-m}{e^{-r_nt}} \int_{}^{} e^{-r_nt} \mbox{d}t=\frac{m}{r_n}+\mathcal{C}e^{r_nt}}\)

Więc znaleźliśmy się w tym samym punkcie co w rozwiązaniu z uzmiennianiem stałej tylko, że nastąpiło to znacznie szybciej. Dalsza część jest już kopią tego co wyżej dlatego nie pisze. Po prosty zakładasz warunek początkowy i dostajesz to samo.

[gms]

Ah, widzę już teraz już swój błąd, dziękuje za szybką pomoc, pozdrawiam .