No nic, trzeba coś działać. Czas poruszyć temat liczb (reprezentowanych jako zbiory).
W teorii mnogości są konstrukcje liczbowe. Za pomocą zbiorów definiuje się liczby naturalne, całkowite,...
Przedstawię (niektóre) dowody dla konstrukcji liczb całkowitych. W tych dowodach o tyle jest ciekawie, że trzeba się opierać na ścisłych regułach (wcześniej udowodnionych faktach). Nawet to fajne, a nikomu tego nie pokazywałem... Zaczynam.
Niech \(\displaystyle{ \approx}\) będzie relacją określoną na \(\displaystyle{ \NN\times \NN}\) jako:
\(\displaystyle{ \left( n_{1} , m_{1} \right) \approx \left( n_{2}, m_{2} \right) \Longleftrightarrow n _{1}+m_{2}=m _{1}+ n_{2}.}\)
Suma dwóch 'skrajnych' współrzędnych par ma być równa sumie dwóch 'środkowych'.
Relacja ta jest relacją równoważności.
Zwrotność i symetria relacji są bardzo proste. Zajmijmy się dowodem przechodniości.
Niech \(\displaystyle{ \left( n_{1} , m_{1} \right) ,\left( n_{2} , m_{2} \right),\left( n_{3} , m_{3} \right)}\) będą parami liczb naturalnych, takimi, że \(\displaystyle{ \left( n_{1} , m_{1} \right) \approx \left( n_{2}, m_{2}\right) \approx \left( n_{3}, m_{3}\right).}\) Wnioskujemy natychmiast, że \(\displaystyle{ n _{1}+m _{2}=m_{1}+n _{2},}\) oraz, ze \(\displaystyle{ n _{2}+m _{3}=m_{2}+n _{3},}\) zatem \(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{2}\right)+\left( n _{2}+m _{3}\right)=\left( m_{1}+n _{2}\right) +\left( m_{2}+n _{3}\right),}\) i na mocy łączności i przemienności dodawania liczb naturalnych, otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{3}\right)+\left( n _{2}+m _{2}\right)=\left( m_{1}+n _{3}\right) +\left( m_{2}+n _{2}\right)=\left( m_{1}+n _{3}\right) +\left( n _{2}+m_{2}\right),}\) skracamy\(\displaystyle{ \left( n _{2}+m_{2}\right)}\) (na mocy prawa skracania dla dodawania), i otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{3}\right)=\left( m_{1}+n _{3}\right)}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ \left( n_{1} , m_{1} \right) \approx \left( n_{3}, m_{3}\right) ,}\) a więc relacja jest przechodnia, i jest relacją równoważności.\(\displaystyle{ \square}\)
Def.: \(\displaystyle{ \ZZ=\NN\times \NN _{/ \approx} .}\) Elementy tego zbioru nazywamy liczbami całkowitymi.
Para \(\displaystyle{ \left( n,m\right)}\) liczb naturalnych reprezentuje różnicę (liczbę całkowitą) \(\displaystyle{ n-m}\).
Fakt. Dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (n,m)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}}\) istnieje para \(\displaystyle{ (n',m')\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}\) taka, że \(\displaystyle{ (n,m)\approx (n',m')}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n'=0 \hbox{ lub } m'=0 \right).}\)
Czyli dowolną parę (których różnica współrzędnych wyznacza liczbę całkowitą) można zastąpić inną parą równoważną (tzn, będącą z nią w relacji , czyli reprezentującą tą samą różnicę, tą samą liczbę całkowitą), parę postaci \(\displaystyle{ \left( 0,m'\right)}\) lub postaci \(\displaystyle{ \left( n',0\right)}\) (co jest zgodne z intuicją, że zbiór liczb całkowitych to liczby naturalne i liczby do nich przeciwne).
Dowód: Ustalmy dowolną parę \(\displaystyle{ (n,m)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}.}\) Jeśli \(\displaystyle{ n=m}\), to bierzemy parę \(\displaystyle{ \left( 0,0\right),}\) i wtedy \(\displaystyle{ (n,m)\approx (0,0)}\) (bo \(\displaystyle{ n+0=m+0}\)), i dowód jest zakończony. Jeśli \(\displaystyle{ n \neq m}\), to \(\displaystyle{ n<m}\) albo \(\displaystyle{ m<n}\). Zajmijmy się pierwszym przypadkiem. Wtedy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\), taka, że \(\displaystyle{ n+k=m}\). Ustalmy taką liczbę naturalną. Wtedy \(\displaystyle{ n+k=m+0}\), a więc \(\displaystyle{ (n,m)\approx (0,k),}\) i warunek jest spełniony. Jeśli \(\displaystyle{ m<n}\), to istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\) taka, ze \(\displaystyle{ n=m+k}\), ustalmy ją. Wtedy \(\displaystyle{ n+0=m+k}\), a więc \(\displaystyle{ (n,m)\approx (k,0),}\) i warunek również jest spełniony. Dowód jest zakończony.
Konstrukcja liczb całkowitych
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Konstrukcja liczb całkowitych
Ostatnio zmieniony 26 lut 2019, o 10:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
Przez element przeciwny do danego, rozumiemy: jeśli \(\displaystyle{ x=\left[ \left( n,m\right)\right] _{ \approx },}\) to \(\displaystyle{ -x=\left[ \left( m,n\right)\right] _{ \approx }.}\)
Należy najpierw pokazać, że takie branie elementu przeciwnego nie zależy od wyboru reprezentantów klasy równoważności.
Dowód: Niech \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) ,\left( n _{2},m _{2} \right)}\) będą parami liczb naturalnych, takimi że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right).}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ -\left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }=-\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }.}\) Równość ta jest równoważna temu, że \(\displaystyle{ \left[ \left( m _{1} ,n _{1} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( m _{2} ,n _{2} \right)\right] _{ \approx }.}\) Wiemy, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right),}\) a zatem \(\displaystyle{ n _{1}+m _{2}=m _{1}+n _{2},}\) zatem \(\displaystyle{ m _{1}+n _{2}=n _{1}+m _{2},}\) a więc to oznacza, że \(\displaystyle{ \left( m _{1},n _{1} \right) \approx \left( m _{2},n _{2} \right),}\) a skoro pary są w relacji równoważności \(\displaystyle{ \approx}\), to wyznaczają tą samą klasę równoważności, czyli \(\displaystyle{ \left[ \left( m _{1} ,n _{1} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( m _{2} ,n _{2} \right)\right] _{ \approx }. \square}\)
Definicja dodawania: \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }+ \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{1}+n _{2} ,m _{1}+ m_{2} \right)\right] _{ \approx }}\)
\(\displaystyle{ +}\) po lewej stronie oznacza sumę liczb całkowitych, a po prawej stronie \(\displaystyle{ +}\) oznacza sumę liczb naturalnych (formalnie jest kolizja, ale nie prowadzi to do nieporozumień, więc tak pozostawimy).
Wykażemy, że dodawanie nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności.
Niech \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) ,\left( n _{2},m _{2} \right),\left( n _{3},m _{3} \right),\left( n _{4},m _{4} \right) \in \NN \times \NN,}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n _{3},m _{3} \right) \approx \left( n _{4},m _{4} \right).}\) Wykażemy, że również \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }+ \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }+ \left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }.}\) Równość ta jest prawdą wtedy i tylko wtedy, gdy( z definicji dodawania):
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1}+n _{3} ,m _{1}+ m_{3} \right)\right]_{ \approx }=\left[ \left( n _{2}+n _{4} ,m _{2}+ m_{4} \right)\right]_{ \approx },}\) co jest równoważne ( z własności relacji równoważności), temu że \(\displaystyle{ \left( n _{1}+n _{3},m _{1}+m _{3} \right) \approx \left( n _{2}+n _{4},m _{2}+m _{4} \right),}\) z definicji relacji \(\displaystyle{ \approx}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ \left( n _{1}+n _{3}\right)+\left( m _{2}+m _{4}\right)= \left( m _{1}+m _{3}\right)+\left( n _{2}+n _{4}\right),}\) * i to należy pokazać.
Wiemy, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n _{3},m _{3} \right) \approx \left( n _{4},m _{4} \right),}\) a więc \(\displaystyle{ n _{1}+m _{2}=m _{1}+n _{2},}\) oraz \(\displaystyle{ n _{3}+m _{4}=m _{3}+n _{4},}\) Zatem podstawiając
\(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{2}\right)+ \left( n _{3}+m _{4}\right)=\left( m _{1}+n _{2}\right)+\left( m _{3}+n _{4}\right),}\) **
lewa strona tej równości jest równa (z przemienności i łączności dodawania liczb naturalnych) \(\displaystyle{ \left( n _{1}+n _{3}\right)+\left( m _{2}+m _{4}\right),}\) a prawa na podobnej zasadzie \(\displaystyle{ \left( m _{1}+m _{3}\right)+\left( n _{2}+n _{4}\right)}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( n _{1}+n _{3}\right)+\left( m _{2}+m _{4}\right)= \left( m _{1}+m _{3}\right)+\left( n _{2}+n _{4}\right),}\) co oznacza prawdziwość *.\(\displaystyle{ \square}\)
Definicja odejmowania w \(\displaystyle{ \ZZ}\): \(\displaystyle{ x-y=x+\left( -y\right)}\).
Spróbuję teraz samodzielnie udowodnić, że odejmowanie nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności.
Niech \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) ,\left( n _{2},m _{2} \right),\left( n _{3},m _{3} \right),\left( n _{4},m _{4} \right) \in \NN \times \NN,}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n _{3},m _{3} \right) \approx \left( n _{4},m _{4} \right).}\) Wykażemy, że również \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }- \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }-\left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }.}\)
Równość ta jest prawdą, wtedy i tylko wtedy gdy ( z definicji odejmowania)
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }+\left( -\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }\right) =\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }+ \left( -\left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }\right) .}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \left( n _{3},m _{3} \right) \approx \left( n _{4},m _{4} \right),}\) oraz wiemy, że branie elementu przeciwnego jest niezależne od wyboru reprezentanta klasy równoważności, więc \(\displaystyle{ \left( -\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }\right) =\left( -\left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }\right)}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right),}\) więc \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx },}\) a więc (bo dodawanie już jest dobrze określone) \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }+\left( -\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }\right) =\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }+ \left( -\left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }\right) .\square}\)
Pokażemy prawo skracania w liczbach całkowitych:
jeśli \(\displaystyle{ x \cdot z=y \cdot z}\), oraz \(\displaystyle{ z \neq 0}\), to \(\displaystyle{ x=y.}\)
Przypominam definicję mnożenia w \(\displaystyle{ \ZZ:}\)
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{1} \cdot n _{2}+ m _{1} \cdot m _{2} ,n _{1} \cdot m _{2}+ m _{1} \cdot n _{2} \right)\right] _{ \approx }.}\)
Po prawej stronie mamy działania na liczbach naturalnych. Należy pokazać również, że mnożenie nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności( dowód znany ale żmudny, dla mnie takie rachunki to ostateczność, więc może się nie będę trudził).
Element \(\displaystyle{ 0\in\ZZ}\), to \(\displaystyle{ \left[ \left( 0, 0 \right)\right] _{ \approx }}\)
Dowód (prawa skracania):
Weźmy trzy dowolne liczby całkowite \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }, \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx },\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }.}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }}\), oraz, że \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx } \neq \left[ \left( 0, 0 \right)\right] _{ \approx }.}\) Zauważmy, że na podstawie udowodnionego faktu w poście powyżej, parę \(\displaystyle{ \left( n _{3} ,m _{3}\right) ,}\) możemy zastąpić parą równoważną \(\displaystyle{ \left( n,m\right)}\), gdzie dokładnie jedna z liczb naturalnych \(\displaystyle{ n,m}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Wnioskujemy z definicji mnożenia( oraz z faktu, że wynik mnożenia jest niezależny od wyboru reprezentantów), że \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} \cdot n + m _{1} \cdot m ,n _{1} \cdot m + m _{1} \cdot n \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} \cdot n + m _{2} \cdot m ,n _{2} \cdot m+ m _{2} \cdot n \right)\right] _{ \approx }.}\) Z własności relacji równoważności, oznacza to, że \(\displaystyle{ \left( n _{1} n+ m _{1} m ,n _{1}m+ m _{1}n \right) \approx \left( n _{2}n + m _{2}m ,n _{2} m+ m _{2} n \right).}\) A więc z definicji tej relacji \(\displaystyle{ \left( n _{1} n + m _{1} m \right)+\left( n _{2} m+ m _{2} n\right)= \left( n _{1}m + m _{1}n \right) +\left( n _{2}n + m _{2}m \right).}\) Rozpatrujemy teraz przypadki: jeśli \(\displaystyle{ n=0}\), to \(\displaystyle{ m \neq 0}\), i \(\displaystyle{ m_{1}m + n_{2} m= n _{1}m + m _{2}m .}\) (korzystając z identyczności na liczbach naturalnych), i dalej z rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( m_{1} + n_{2}\right) m= \left( n _{1}+ m _{2}\right) m.}\) Mamy \(\displaystyle{ m \neq 0,}\) więc korzystając z prawa skracania mnożenia w liczbach naturalnych, otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( m_{1} + n_{2}\right) = \left( n _{1}+ m _{2}\right),}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\), więc z własności relacji równoważności \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }= \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n \neq 0}\), to \(\displaystyle{ m=0}\), więc \(\displaystyle{ n _{1} n + m _{2} n= m _{1}n+ n _{2}n,}\) więc podobnie \(\displaystyle{ \left( n _{1} + m _{2}\right) n= \left( m _{1}+ n _{2}\right) n ,}\) ponieważ \(\displaystyle{ n \neq 0}\), więc z prawa skracania w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ \left( n _{1} + m _{2}\right) = \left( m _{1}+ n _{2}\right),}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\), więc z własności relacji równoważności \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }= \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }.\square}\)
Należy najpierw pokazać, że takie branie elementu przeciwnego nie zależy od wyboru reprezentantów klasy równoważności.
Dowód: Niech \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) ,\left( n _{2},m _{2} \right)}\) będą parami liczb naturalnych, takimi że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right).}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ -\left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }=-\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }.}\) Równość ta jest równoważna temu, że \(\displaystyle{ \left[ \left( m _{1} ,n _{1} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( m _{2} ,n _{2} \right)\right] _{ \approx }.}\) Wiemy, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right),}\) a zatem \(\displaystyle{ n _{1}+m _{2}=m _{1}+n _{2},}\) zatem \(\displaystyle{ m _{1}+n _{2}=n _{1}+m _{2},}\) a więc to oznacza, że \(\displaystyle{ \left( m _{1},n _{1} \right) \approx \left( m _{2},n _{2} \right),}\) a skoro pary są w relacji równoważności \(\displaystyle{ \approx}\), to wyznaczają tą samą klasę równoważności, czyli \(\displaystyle{ \left[ \left( m _{1} ,n _{1} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( m _{2} ,n _{2} \right)\right] _{ \approx }. \square}\)
Definicja dodawania: \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }+ \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{1}+n _{2} ,m _{1}+ m_{2} \right)\right] _{ \approx }}\)
\(\displaystyle{ +}\) po lewej stronie oznacza sumę liczb całkowitych, a po prawej stronie \(\displaystyle{ +}\) oznacza sumę liczb naturalnych (formalnie jest kolizja, ale nie prowadzi to do nieporozumień, więc tak pozostawimy).
Wykażemy, że dodawanie nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności.
Niech \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) ,\left( n _{2},m _{2} \right),\left( n _{3},m _{3} \right),\left( n _{4},m _{4} \right) \in \NN \times \NN,}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n _{3},m _{3} \right) \approx \left( n _{4},m _{4} \right).}\) Wykażemy, że również \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }+ \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }+ \left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }.}\) Równość ta jest prawdą wtedy i tylko wtedy, gdy( z definicji dodawania):
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1}+n _{3} ,m _{1}+ m_{3} \right)\right]_{ \approx }=\left[ \left( n _{2}+n _{4} ,m _{2}+ m_{4} \right)\right]_{ \approx },}\) co jest równoważne ( z własności relacji równoważności), temu że \(\displaystyle{ \left( n _{1}+n _{3},m _{1}+m _{3} \right) \approx \left( n _{2}+n _{4},m _{2}+m _{4} \right),}\) z definicji relacji \(\displaystyle{ \approx}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ \left( n _{1}+n _{3}\right)+\left( m _{2}+m _{4}\right)= \left( m _{1}+m _{3}\right)+\left( n _{2}+n _{4}\right),}\) * i to należy pokazać.
Wiemy, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n _{3},m _{3} \right) \approx \left( n _{4},m _{4} \right),}\) a więc \(\displaystyle{ n _{1}+m _{2}=m _{1}+n _{2},}\) oraz \(\displaystyle{ n _{3}+m _{4}=m _{3}+n _{4},}\) Zatem podstawiając
\(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{2}\right)+ \left( n _{3}+m _{4}\right)=\left( m _{1}+n _{2}\right)+\left( m _{3}+n _{4}\right),}\) **
lewa strona tej równości jest równa (z przemienności i łączności dodawania liczb naturalnych) \(\displaystyle{ \left( n _{1}+n _{3}\right)+\left( m _{2}+m _{4}\right),}\) a prawa na podobnej zasadzie \(\displaystyle{ \left( m _{1}+m _{3}\right)+\left( n _{2}+n _{4}\right)}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( n _{1}+n _{3}\right)+\left( m _{2}+m _{4}\right)= \left( m _{1}+m _{3}\right)+\left( n _{2}+n _{4}\right),}\) co oznacza prawdziwość *.\(\displaystyle{ \square}\)
Definicja odejmowania w \(\displaystyle{ \ZZ}\): \(\displaystyle{ x-y=x+\left( -y\right)}\).
Spróbuję teraz samodzielnie udowodnić, że odejmowanie nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności.
Niech \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) ,\left( n _{2},m _{2} \right),\left( n _{3},m _{3} \right),\left( n _{4},m _{4} \right) \in \NN \times \NN,}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n _{3},m _{3} \right) \approx \left( n _{4},m _{4} \right).}\) Wykażemy, że również \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }- \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }-\left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }.}\)
Równość ta jest prawdą, wtedy i tylko wtedy gdy ( z definicji odejmowania)
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }+\left( -\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }\right) =\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }+ \left( -\left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }\right) .}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \left( n _{3},m _{3} \right) \approx \left( n _{4},m _{4} \right),}\) oraz wiemy, że branie elementu przeciwnego jest niezależne od wyboru reprezentanta klasy równoważności, więc \(\displaystyle{ \left( -\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }\right) =\left( -\left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }\right)}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right),}\) więc \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx },}\) a więc (bo dodawanie już jest dobrze określone) \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }+\left( -\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }\right) =\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }+ \left( -\left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }\right) .\square}\)
Pokażemy prawo skracania w liczbach całkowitych:
jeśli \(\displaystyle{ x \cdot z=y \cdot z}\), oraz \(\displaystyle{ z \neq 0}\), to \(\displaystyle{ x=y.}\)
Przypominam definicję mnożenia w \(\displaystyle{ \ZZ:}\)
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{1} \cdot n _{2}+ m _{1} \cdot m _{2} ,n _{1} \cdot m _{2}+ m _{1} \cdot n _{2} \right)\right] _{ \approx }.}\)
Po prawej stronie mamy działania na liczbach naturalnych. Należy pokazać również, że mnożenie nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności( dowód znany ale żmudny, dla mnie takie rachunki to ostateczność, więc może się nie będę trudził).
Element \(\displaystyle{ 0\in\ZZ}\), to \(\displaystyle{ \left[ \left( 0, 0 \right)\right] _{ \approx }}\)
Dowód (prawa skracania):
Weźmy trzy dowolne liczby całkowite \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }, \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx },\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }.}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx }}\), oraz, że \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx } \neq \left[ \left( 0, 0 \right)\right] _{ \approx }.}\) Zauważmy, że na podstawie udowodnionego faktu w poście powyżej, parę \(\displaystyle{ \left( n _{3} ,m _{3}\right) ,}\) możemy zastąpić parą równoważną \(\displaystyle{ \left( n,m\right)}\), gdzie dokładnie jedna z liczb naturalnych \(\displaystyle{ n,m}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Wnioskujemy z definicji mnożenia( oraz z faktu, że wynik mnożenia jest niezależny od wyboru reprezentantów), że \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} \cdot n + m _{1} \cdot m ,n _{1} \cdot m + m _{1} \cdot n \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{2} \cdot n + m _{2} \cdot m ,n _{2} \cdot m+ m _{2} \cdot n \right)\right] _{ \approx }.}\) Z własności relacji równoważności, oznacza to, że \(\displaystyle{ \left( n _{1} n+ m _{1} m ,n _{1}m+ m _{1}n \right) \approx \left( n _{2}n + m _{2}m ,n _{2} m+ m _{2} n \right).}\) A więc z definicji tej relacji \(\displaystyle{ \left( n _{1} n + m _{1} m \right)+\left( n _{2} m+ m _{2} n\right)= \left( n _{1}m + m _{1}n \right) +\left( n _{2}n + m _{2}m \right).}\) Rozpatrujemy teraz przypadki: jeśli \(\displaystyle{ n=0}\), to \(\displaystyle{ m \neq 0}\), i \(\displaystyle{ m_{1}m + n_{2} m= n _{1}m + m _{2}m .}\) (korzystając z identyczności na liczbach naturalnych), i dalej z rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( m_{1} + n_{2}\right) m= \left( n _{1}+ m _{2}\right) m.}\) Mamy \(\displaystyle{ m \neq 0,}\) więc korzystając z prawa skracania mnożenia w liczbach naturalnych, otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( m_{1} + n_{2}\right) = \left( n _{1}+ m _{2}\right),}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\), więc z własności relacji równoważności \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }= \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n \neq 0}\), to \(\displaystyle{ m=0}\), więc \(\displaystyle{ n _{1} n + m _{2} n= m _{1}n+ n _{2}n,}\) więc podobnie \(\displaystyle{ \left( n _{1} + m _{2}\right) n= \left( m _{1}+ n _{2}\right) n ,}\) ponieważ \(\displaystyle{ n \neq 0}\), więc z prawa skracania w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ \left( n _{1} + m _{2}\right) = \left( m _{1}+ n _{2}\right),}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right) \approx \left( n _{2},m _{2} \right)}\), więc z własności relacji równoważności \(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx }= \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }.\square}\)
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Konstrukcja liczb całkowitych
Ostatnia część pracy.
Przypominam definicję porządku w \(\displaystyle{ \ZZ:}\)
\(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{2}, m _{2} \right) \right] _{ \approx } \Longleftrightarrow n_{1}+m_{2} \le m_{1}+n_{2}.}\)
Oczywiście, po prawej stronie mamy dodawanie i nierówność na liczbach naturalnych.
Pokażemy, że definicja porządku jest niezależna od wyboru reprezentantów klas równoważności.
Niech \(\displaystyle{ \left( n_{1}, m_{1} \right); \left( n_{2} ,m _{2} \right); \left( n _{3} , m_{3} \right); \left( n_{4} ,m _{4} \right) \in \NN \times \NN,}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \left( n_{1},m_{1} \right) \approx \left( n_{2}, m_{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n_{3}, m_{3} \right) \approx \left( n_{4},m _{4} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n_{3}, m_{3} \right) \right] _{ \approx }.}\) Pokażemy, że również \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{2}, m_{2} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{4},m _{4} \right) \right] _{ \approx }}\), czyli że po zastąpieniu w klasach równoważności pomiędzy którymi zachodzi nierówność, po zastąpieniu par reprezentantów parami równoważnymi otrzymamy zgodną nierówność, czyli porządek na liczbach całkowitych jest niezależny od wyboru reprezentantów klas równoważności.
Ponieważ \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n_{3}, m_{3} \right) \right] _{ \approx } ,}\) więc \(\displaystyle{ n _{1}+m _{3} \le m _{1}+n _{3},}\) zatem istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), taka, że \(\displaystyle{ n _{1}+m _{3} +n=m _{1}+n _{3} .}\) Ustalmy ją. Wtedy zachodzi ta równość. Równocześnie, ponieważ \(\displaystyle{ \left( n_{1}, m_{1} \right) \approx \left( n_{2}, m_{2} \right),}\) więc \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2}= m_{1}+n_{2}.}\) Podobnie, ponieważ \(\displaystyle{ \left( n_{3}, m_{3} \right) \approx \left( n_{4}, m_{4} \right),}\) więc \(\displaystyle{ n_{3}+m_{4}= m_{3}+n_{4}.}\) Zatem \(\displaystyle{ \left( n_{1} + m_{2} \right)+\left( m _{3}+n _{4} \right)=\left( m _{1} +n _{2} \right)+\left( n _{3} +m _{4} \right)=\left( m_{1}+ n_{3} \right)+\left( n _{2}+m _{4} \right),}\) (korzystając z łączności i przemienności dodawania). Ponieważ \(\displaystyle{ m _{1}+n _{3}=n _{1}+m _{3}+n,}\) więc \(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{2} \right)+\left(m _{3} +n _{4} \right)=\left( n _{1} +m _{3} +n\right) +\left( n _{2}+m _{4} \right).}\) Skracamy \(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{3} \right)}\) (na mocy prawa skracania dla dodawania) , i otrzymujemy \(\displaystyle{ m _{2}+n _{4}=n+n _{2}+ m _{4}.}\) A zatem \(\displaystyle{ m _{2}+n _{4 } \ge n _{2}+m _{4},}\) więc \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{2} , m_{2} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n_{4} , m_{4} \right) \right] _{ \approx }. \square}\)
Porządek \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest w istocie relacją liniowego porządku.
Zwrotność i antysymetria są proste- zajmijmy się dowodem przechodniości.
Niech \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{2}, m _{2} \right) \right] _{ \approx }\le \left[ \left( n _{3}, m _{3} \right) \right] _{ \approx }.}\) Z definicji relacji \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2} \le m_{1}+n_{2}}\) oraz, że \(\displaystyle{ n_{2}+m_{3} \le m_{2}+n_{3}.}\) Możemy zatem dodać do obu stron nierówności tą samą liczbę naturalną. W związku z czym, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2}+m _{3} \le m_{1}+n_{2}+m _{3}}\) oraz \(\displaystyle{ m_{1}+n_{2}+m_{3} \le m_{1}+m_{2}+n_{3}.}\) Z przechodniości \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \NN}\), dostajemy \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2}+m _{3} \le m_{1}+m_{2}+n_{3}.}\) Skracamy składnik \(\displaystyle{ m_{2},}\) dostając \(\displaystyle{ n_{1}+m _{3}\le m_{1}+n_{3},}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{3}, m _{3} \right) \right] _{ \approx },}\) a więc relacja \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest przechodnia.
Pozostała nam do sprawdzenia spójność. Niech \(\displaystyle{ \left( n_{1}, m_{1} \right); \left( n_{2} ,m _{2} \right) \in \NN \times \NN.}\) Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2},n_{2}+m_{1}, m_{2}+n_{1} \in \NN.}\) Z przemienności dodawania \(\displaystyle{ n_{2}+m_{1}=m_{1}+n_{2}.}\) Jeśli \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2} \le m_{1}+n_{2}}\), to \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{2}, m _{2} \right) \right] _{ \approx }}\). W przeciwnym przypadku, ze spójności \(\displaystyle{ \le}\)w \(\displaystyle{ \NN}\) mamy \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2} \ge m_{1}+n_{2}}\). Z przemienności dodawania to oznacza, że \(\displaystyle{ m_{2}+n_{1}\ge n_{2}+m_{1}}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{2}, m_{2} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{1}, m _{1} \right) \right] _{ \approx },}\) a więc relacja \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest spójna, więc jest porządkiem liniowym. \(\displaystyle{ \square}\)
Przypominam definicję porządku w \(\displaystyle{ \ZZ:}\)
\(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{2}, m _{2} \right) \right] _{ \approx } \Longleftrightarrow n_{1}+m_{2} \le m_{1}+n_{2}.}\)
Oczywiście, po prawej stronie mamy dodawanie i nierówność na liczbach naturalnych.
Pokażemy, że definicja porządku jest niezależna od wyboru reprezentantów klas równoważności.
Niech \(\displaystyle{ \left( n_{1}, m_{1} \right); \left( n_{2} ,m _{2} \right); \left( n _{3} , m_{3} \right); \left( n_{4} ,m _{4} \right) \in \NN \times \NN,}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \left( n_{1},m_{1} \right) \approx \left( n_{2}, m_{2} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( n_{3}, m_{3} \right) \approx \left( n_{4},m _{4} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n_{3}, m_{3} \right) \right] _{ \approx }.}\) Pokażemy, że również \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{2}, m_{2} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{4},m _{4} \right) \right] _{ \approx }}\), czyli że po zastąpieniu w klasach równoważności pomiędzy którymi zachodzi nierówność, po zastąpieniu par reprezentantów parami równoważnymi otrzymamy zgodną nierówność, czyli porządek na liczbach całkowitych jest niezależny od wyboru reprezentantów klas równoważności.
Ponieważ \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n_{3}, m_{3} \right) \right] _{ \approx } ,}\) więc \(\displaystyle{ n _{1}+m _{3} \le m _{1}+n _{3},}\) zatem istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), taka, że \(\displaystyle{ n _{1}+m _{3} +n=m _{1}+n _{3} .}\) Ustalmy ją. Wtedy zachodzi ta równość. Równocześnie, ponieważ \(\displaystyle{ \left( n_{1}, m_{1} \right) \approx \left( n_{2}, m_{2} \right),}\) więc \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2}= m_{1}+n_{2}.}\) Podobnie, ponieważ \(\displaystyle{ \left( n_{3}, m_{3} \right) \approx \left( n_{4}, m_{4} \right),}\) więc \(\displaystyle{ n_{3}+m_{4}= m_{3}+n_{4}.}\) Zatem \(\displaystyle{ \left( n_{1} + m_{2} \right)+\left( m _{3}+n _{4} \right)=\left( m _{1} +n _{2} \right)+\left( n _{3} +m _{4} \right)=\left( m_{1}+ n_{3} \right)+\left( n _{2}+m _{4} \right),}\) (korzystając z łączności i przemienności dodawania). Ponieważ \(\displaystyle{ m _{1}+n _{3}=n _{1}+m _{3}+n,}\) więc \(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{2} \right)+\left(m _{3} +n _{4} \right)=\left( n _{1} +m _{3} +n\right) +\left( n _{2}+m _{4} \right).}\) Skracamy \(\displaystyle{ \left( n _{1}+m _{3} \right)}\) (na mocy prawa skracania dla dodawania) , i otrzymujemy \(\displaystyle{ m _{2}+n _{4}=n+n _{2}+ m _{4}.}\) A zatem \(\displaystyle{ m _{2}+n _{4 } \ge n _{2}+m _{4},}\) więc \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{2} , m_{2} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n_{4} , m_{4} \right) \right] _{ \approx }. \square}\)
Porządek \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest w istocie relacją liniowego porządku.
Zwrotność i antysymetria są proste- zajmijmy się dowodem przechodniości.
Niech \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{2}, m _{2} \right) \right] _{ \approx }\le \left[ \left( n _{3}, m _{3} \right) \right] _{ \approx }.}\) Z definicji relacji \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2} \le m_{1}+n_{2}}\) oraz, że \(\displaystyle{ n_{2}+m_{3} \le m_{2}+n_{3}.}\) Możemy zatem dodać do obu stron nierówności tą samą liczbę naturalną. W związku z czym, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2}+m _{3} \le m_{1}+n_{2}+m _{3}}\) oraz \(\displaystyle{ m_{1}+n_{2}+m_{3} \le m_{1}+m_{2}+n_{3}.}\) Z przechodniości \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \NN}\), dostajemy \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2}+m _{3} \le m_{1}+m_{2}+n_{3}.}\) Skracamy składnik \(\displaystyle{ m_{2},}\) dostając \(\displaystyle{ n_{1}+m _{3}\le m_{1}+n_{3},}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{3}, m _{3} \right) \right] _{ \approx },}\) a więc relacja \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest przechodnia.
Pozostała nam do sprawdzenia spójność. Niech \(\displaystyle{ \left( n_{1}, m_{1} \right); \left( n_{2} ,m _{2} \right) \in \NN \times \NN.}\) Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2},n_{2}+m_{1}, m_{2}+n_{1} \in \NN.}\) Z przemienności dodawania \(\displaystyle{ n_{2}+m_{1}=m_{1}+n_{2}.}\) Jeśli \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2} \le m_{1}+n_{2}}\), to \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{1}, m_{1} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{2}, m _{2} \right) \right] _{ \approx }}\). W przeciwnym przypadku, ze spójności \(\displaystyle{ \le}\)w \(\displaystyle{ \NN}\) mamy \(\displaystyle{ n_{1}+m_{2} \ge m_{1}+n_{2}}\). Z przemienności dodawania to oznacza, że \(\displaystyle{ m_{2}+n_{1}\ge n_{2}+m_{1}}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ \left[ \left( n_{2}, m_{2} \right) \right] _{ \approx } \le \left[ \left( n _{1}, m _{1} \right) \right] _{ \approx },}\) a więc relacja \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest spójna, więc jest porządkiem liniowym. \(\displaystyle{ \square}\)
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
Jeszcze podam wspomniany żmudny dowód (jeśli zadziwia was poprawność, to nie piszę tego z marszu, dwa dni temu i krótko wczoraj pracowałem nad tym na papierze, dwa dni temu myliłem się kilka razy, raczej błędy nie przepisywania, tylko czy podstawić pod równość czy nie- tego typu pomyłki, ale nie było tak źle- dwie godziny, może trochę więcej mi zeszło, i wczoraj chwilę). Teraz mogę dość spokojnie ten dowód przepisać( ale będzie trochę pracy, żmudne to będzie dla mnie- zwłaszcza zapis w Latexu, ale spróbujemy).
Wykażemy, że mnożenie liczb całkowitych nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności.Hm, widzę, że jak się postarać, to można dużo zaoszczędzić ręcznej roboty...
Dowód był raczej znany dla mnie od dawna, tylko go zapisywałem na papierze (przy własnej symbolice..., stąd te trudności).
Wykażemy, że mnożenie liczb całkowitych nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności.
DOSYĆ PROSTY, ALE BARDZO ŻMUDNY DOWÓD:
Dowód był raczej znany dla mnie od dawna, tylko go zapisywałem na papierze (przy własnej symbolice..., stąd te trudności).
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
Krócej: załóżmy, że \(\displaystyle{ (a, b) \approx (a', b')}\) i \(\displaystyle{ (c, d) \approx (c', d')}\), tzn. \(\displaystyle{ a+b' = a'+b}\) i \(\displaystyle{ c+d' = c'+d}\). Wtedy
\(\displaystyle{
\begin{array}{ccc}
a \cdot c + b \cdot d + a' \cdot d + b' \cdot c & {=} & (a+b') \cdot c + (a'+b) \cdot d \\
& & \mid \mid \\
a' \cdot c + b' \cdot d + a \cdot d + b \cdot c & {=} & (a'+b) \cdot c + (a+b') \cdot d \\
\end{array}}\)
czyli \(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c, d)}\).
Analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ (a', b') \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c', d')}\). Z przechodniości \(\displaystyle{ \approx}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c', d')}\).
\(\displaystyle{
\begin{array}{ccc}
a \cdot c + b \cdot d + a' \cdot d + b' \cdot c & {=} & (a+b') \cdot c + (a'+b) \cdot d \\
& & \mid \mid \\
a' \cdot c + b' \cdot d + a \cdot d + b \cdot c & {=} & (a'+b) \cdot c + (a+b') \cdot d \\
\end{array}}\)
czyli \(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c, d)}\).
Analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ (a', b') \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c', d')}\). Z przechodniości \(\displaystyle{ \approx}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c', d')}\).
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
Chyba domyślam się co ten skrót myślowy oznacza, para wyznacza klasę równoważności, chodzi pewnie o to że para wyznaczająca iloczyn liczb całkowitych wyznaczonych przez odpowiednio pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) i \(\displaystyle{ (c,d)}\) ma być w relacji \(\displaystyle{ \approx}\) z parą wyznaczającą iloczyn liczb całkowitych wyznaczonych przez kolejno pary \(\displaystyle{ (a', b')}\) i \(\displaystyle{ (c, d)}\). O to chodzi?\(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c, d)}\).
Ale i tak nie wiem skąd to wziąłeś (uproszczenie zapisu pochwalam- podoba mi się), bo bym musiał mieć po lewej stronie parę \(\displaystyle{ \left( ac+bd, ad+bc\right),}\) czego nie widzę- czegoś tu brakuje.
Wszystko wcześniej rozumiem, ale tego już nie.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
Definiuję operację na parach liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) = (ac+bd, ad+bc)}\)
a potem na liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ [ (a, b) ]_{\approx} \cdot [ (c, d) ]_{\approx} = [ (a, b) \cdot (c, d) ]_{\approx} = [ (ac+bd, ad+bc) ]_{\approx}}\).
Należy pokazać, że mnożenie na liczbach całkowitych jest dobrze określone, czyli jeśli \(\displaystyle{ (a, b) \approx (a', b')}\) oraz \(\displaystyle{ (c, d) \approx (c', d')}\), to
\(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c', d')}\).
Nie jest dobrze formułować ten cel jako:
\(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) = (ac+bd, ad+bc)}\)
a potem na liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ [ (a, b) ]_{\approx} \cdot [ (c, d) ]_{\approx} = [ (a, b) \cdot (c, d) ]_{\approx} = [ (ac+bd, ad+bc) ]_{\approx}}\).
Należy pokazać, że mnożenie na liczbach całkowitych jest dobrze określone, czyli jeśli \(\displaystyle{ (a, b) \approx (a', b')}\) oraz \(\displaystyle{ (c, d) \approx (c', d')}\), to
\(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c', d')}\).
Nie jest dobrze formułować ten cel jako:
bo wtedy w sformułowaniu używamy mnożenia liczb całkowitych, którego poprawność dopiero próbujemy pokazać. Ponadto wtedy pojawia się pokusa, żeby zrobić trywialny, ale oczywiście niepoprawny dowód:Jeśli \(\displaystyle{ (a, b) \approx (a', b')}\) oraz \(\displaystyle{ (c, d) \approx (c', d')}\), to \(\displaystyle{ [ (a, b) ]_{\approx} \cdot [ (c, d) ]_{\approx} = [ (a', b') ]_{\approx} \cdot [ (c', d') ]_{\approx}}\)
Oznaczmy
\(\displaystyle{ \begin{array}{ll}
x\phantom{'} \hspace{-1cm} & = [ (a, b) ]_{\approx} \\
x' \hspace{-1cm} & = [ (a', b') ]_{\approx} \\
y\phantom{'} \hspace{-1cm} & = [ (c, d) ]_{\approx} \\
y' \hspace{-1cm} & = [ (c', d') ]_{\approx}.
\end{array}}\)
Z założeń wprost wynika, że \(\displaystyle{ x = x'}\) oraz \(\displaystyle{ y = y'}\), zatem w oczywisty sposób \(\displaystyle{ x \cdot y = x' \cdot y'}\).
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
Muszę (żeby to zrozumieć ) to sobie rozpisać.Dasio11 pisze:że mnożenie na liczbach całkowitych jest dobrze określone, czyli jeśli \(\displaystyle{ (a, b) \approx (a', b')}\) oraz \(\displaystyle{ (c, d) \approx (c', d')}\), to
\(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c', d')}\)
Wiem o tym, ale tak mnie uczono(to też pewnie dotyczy innych operacji na liczbach całkowitych, np. dodawania ), łatwiej to zrozumieć, ale spróbuje zrozumieć też Twój sposób.Nie jest dobrze formułować ten cel jako:bo wtedy w sformułowaniu używamy mnożenia liczb całkowitych, którego poprawność dopiero próbujemy pokazać.Jeśli \(\displaystyle{ (a, b) \approx (a', b')}\) oraz \(\displaystyle{ (c, d) \approx (c', d')}\), to \(\displaystyle{ [ (a, b) ]_{\approx} \cdot [ (c, d) ]_{\approx} = [ (a', b') ]_{\approx} \cdot [ (c', d') ]_{\approx}}\)
Tak by można argumentować, po dobrym zdefiniowaniu mnożenia, a tu chodzi o to by pokazać, że mnożenie nie zależy od wyboru reprezentantów klas równoważności, czyli jeśli zastąpimy w iloczynie liczb całkowitych reprezentantów klas równoważności parami równoważnymi, to otrzymamy ten sam wynik, ten sam zbiór.Oznaczmy
\(\displaystyle{ \begin{array}{ll}
x\phantom{'} \hspace{-1cm} & = [ (a, b) ]_{\approx} \\
x' \hspace{-1cm} & = [ (a', b') ]_{\approx} \\
y\phantom{'} \hspace{-1cm} & = [ (c, d) ]_{\approx} \\
y' \hspace{-1cm} & = [ (c', d') ]_{\approx}.
\end{array}}\)
Z założeń wprost wynika, że \(\displaystyle{ x = x'}\) oraz \(\displaystyle{ y = y'}\), zatem w oczywisty sposób \(\displaystyle{ x \cdot y = x' \cdot y'}\).
Ale muszę spróbować zrozumieć Twoje podejście.
Jeśli \(\displaystyle{ (a, b) \approx (a', b')}\) oraz \(\displaystyle{ (c, d) \approx (c', d')}\), to potrzebujemy aby
\(\displaystyle{ [ (a, b) ]_{\approx} \cdot [ (c, d) ]_{\approx} = [ (a', b') ]_{\approx} \cdot [ (c', d') ]_{\approx}}\) Ty piszesz, że potrzebujemy aby
Chcę się przekonać że te dwa fakty są równoważne. Mamy \(\displaystyle{ [ (a, b) ]_{\approx} \cdot [ (c, d) ]_{\approx} = [ (a, b) \cdot (c, d) ]_{\approx},}\) oraz \(\displaystyle{ [\left( a',b'\right)] _{ \approx } \cdot [\left( c',d'\right)] _{ \approx }=\left[ \left( a',b'\right) \cdot \left( c',d'\right) \right] _{ \approx }.}\) Równość iloczynów jest równoważna równości \(\displaystyle{ \left[ \left( a,b\right) \cdot \left( c,d\right) \right] _{ \approx }=\left[ \left( a',b' \right) \cdot \left( c',d'\right) \right] _{ \approx } ,}\) co z własności relacji równoważności jest równoważne \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \cdot \left( c,d\right) \approx \left( a',b'\right) \cdot \left( c',d'\right).\square}\)Dasio11 pisze: \(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) \approx (a', b') \cdot (c', d')}\).
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
No ale to niestety nie jest dobrze.Jakub Gurak pisze:Wiem o tym, ale tak mnie uczono(to też pewnie dotyczy innych operacji na liczbach całkowitych, np. dodawania ), łatwiej to zrozumieć,
Mam propozycję: użyj innych symboli na (znane) mnożenie w liczbach naturalnych i na (definiowane, czyli jeszcze nieznane) mnożenie w liczbach całkowitych. A potem pamiętaj, że nie wolno Ci nigdzie użyć drugiego symbolu, dopóki nie uzasadnisz, że działanie, które on oznacza, jest dobrze zdefiniowane. A uzasadnienie musisz w całości sformułować używając wyłącznie pierwszego symbolu.
Ale wtedy już nie ma czego w ten sposób uzasadniać...Jakub Gurak pisze:Tak by można argumentować, po dobrym zdefiniowaniu mnożenia,
No znów niedobrze - one są równoważne dopiero wtedy, gdy masz dobrze zdefiniowane mnożenie w liczbach całkowitych. A przeprowadzając swój dowód niezależności od wyboru reprezentantów jeszcze tego nie wiesz.Jakub Gurak pisze:Chcę się przekonać że te dwa fakty są równoważne. Mamy \(\displaystyle{ [ (a, b) ]_{\approx} \cdot [ (c, d) ]_{\approx} = [ (a, b) \cdot (c, d) ]_{\approx},}\) oraz \(\displaystyle{ [\left( a',b'\right)] _{ \approx } \cdot [\left( c',d'\right)] _{ \approx }=\left[ \left( a',b'\right) \cdot \left( c',d'\right) \right] _{ \approx }.}\) Równość iloczynów jest równoważna równości \(\displaystyle{ \left[ \left( a,b\right) \cdot \left( c,d\right) \right] _{ \approx }=\left[ \left( a',b' \right) \cdot \left( c',d'\right) \right] _{ \approx } ,}\) co z własności relacji równoważności jest równoważne \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \cdot \left( c,d\right) \approx \left( a',b'\right) \cdot \left( c',d'\right).\square}\)
JK
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
Myślę, że nie muszę dużo poprawiać. W moim żmudnym dowodzie mnożenie liczb całkowitych pojawia się dopiero pod sam koniec tego żmudnego dowodu.Jan Kraszewski pisze:Mam propozycję: użyj innych symboli na (znane) mnożenie w liczbach naturalnych i na (definiowane, czyli jeszcze nieznane) mnożenie w liczbach całkowitych. A potem pamiętaj, że nie wolno Ci nigdzie użyć drugiego symbolu, dopóki nie uzasadnisz, że działanie, które on oznacza, jest dobrze zdefiniowane. A uzasadnienie musisz w całości sformułować używając wyłącznie pierwszego symbolu.
Wystarczy zatem w definicji mnożenia liczb całkowitych oznaczyć
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx } \odot \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }}\)
Po prawej stronie definicja bez zmian.
Następnie, wziąć dowolne cztery pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left( n _{1},m _{1} \right);\left( n _{2},m _{2} \right); \left( n _{3},m _{3} \right);\left( n _{4},m _{4} \right),}\) takie, że pierwsza para z trzecią parą jest w relacji \(\displaystyle{ \approx}\), i druga para z czwartą jest w relacji \(\displaystyle{ \approx .}\)
Powtarzamy rozumowanie tego żmudnego dowodu dochodząc do
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} n _{2}+ m _{1} m _{2} ,n _{1} m _{2}+ m _{1} n _{2} \right)\right] _{ \approx} = \left[ \left( n _{3} n _{4}+ m _{3} m _{4} ,n _{3} m _{4}+ m _{3} n _{4} \right)\right] _{ \approx }.}\) A zatem
\(\displaystyle{ \left[ \left( n _{1} ,m _{1} \right)\right] _{ \approx } \odot \left[ \left( n _{2} ,m _{2} \right)\right] _{ \approx }=\left[ \left( n _{3} ,m _{3} \right)\right] _{ \approx } \odot \left[ \left( n _{4} ,m _{4} \right)\right] _{ \approx }}\), co wobec dowolności wyboru czterech par liczb naturalnych takich, że pierwsza z trzecią, i druga para z czwartą jest w relacji \(\displaystyle{ \approx}\), to oznacza, że mnożenie nie zależy od wyboru reprezentantów. Dobrze jest
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Konstrukcja liczb całkowitych
Udowodniłem wczoraj regułę znaków dla mnożenia dwóch liczb całkowitych. Udowodniłem też, że iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy zero dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zeru. Przedstawię teraz dowody tych faktów.
Zacznijmy od obserwacji, że liczba całkowita \(\displaystyle{ [(n,m)] _{ \approx } }\) jest większa lub równa od \(\displaystyle{ 0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n\ge m}\).
Pokażemy teraz, że \(\displaystyle{ x \cdot y=0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ y=0.}\)
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } ,y=\left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx } .}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \cdot y=0;}\) wtedy \(\displaystyle{ \left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx } =\left[ \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2, x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1\right) \right] _{ \approx } =0=\left[ \left( \left( 0,0\right) \right) \right] _{ \approx }}\), a zatem \(\displaystyle{ (0,0)\approx \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2, x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1\right) }\), a zatem z definicji relacji \(\displaystyle{ \approx}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ 0+( x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1) =0+ \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2\right),}\) czyli \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1= x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2.}\) Jeśli \(\displaystyle{ y=0}\), to teza jest spełniona. Załóżmy więc, ze \(\displaystyle{ y \neq 0,}\) i pokażmy, że \(\displaystyle{ x=0.}\) Dalej rozważmy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ y_2 \ge y_1}\), wtedy \(\displaystyle{ (y_2-y_1)\in\NN_{+}}\) (nie może być \(\displaystyle{ y_1=y_2}\) gdyż wtedy \(\displaystyle{ y=\left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx }=0}\)- sprzeczność), zatem \(\displaystyle{ y_2>y_1}\); więc niech \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\) będzie taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ y_2=y_1+a}\), wtedy \(\displaystyle{ x_1 \cdot \left( y_1+a\right) +x_2 \cdot y_1= x_1 \cdot y_1+x_2\cdot\left( y_1+a\right) .}\) A zatem \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_1 \cdot a+x_2 \cdot y_1=x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_1+x_2 \cdot a}\). Skracamy składnik \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_1}\), i otrzymujemy:\(\displaystyle{ x_1 \cdot a=x_2 \cdot a}\), ponieważ \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\), w szczególności \(\displaystyle{ a \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), tak więc \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } =0.}\)
W pozostałym przypadku \(\displaystyle{ y_1>y_2}\), wtedy podobnie wyłączamy liczbę naturalną \(\displaystyle{ (y_1-y_2),}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ x_2=x_1}\), a więc \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } =0.}\)
Kończy to dowód implikacji w jedną stronę. Aby pokazać implikcję w drugą stronę, to załóżmy, że \(\displaystyle{ x=0=\left[ \left( 0,0\right) \right] _{ \approx } }\)i wyznaczmy \(\displaystyle{ x \cdot y}\), niewątpliwie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x \cdot y=\left[ \left( 0,0\right) \right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx } =\left[ \left( 0 \cdot y_1+0 \cdot y_2, 0 \cdot y_2+0 \cdot y_1\right) \right] _{ \approx } =\left[ \left( 0,0\right) \right] _{ \approx }=0.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y=0}\), to podobnie uzasadniamy, że \(\displaystyle{ x \cdot y=0}\), co kończy dowód.
Wykażemy teraz regułę znaków przy mnożeniu dwóch liczb całkowitych, tzn. dla \(\displaystyle{ x,y\in\ZZ:}\)
\(\displaystyle{ x \cdot y>0 \Longleftrightarrow \left[ (x,y>0) \vee (x,y<0)\right] .}\)
Dowód:
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\), to równoważność zachodzi (obie strony równoważności są fałszywe). Załóżmy dalej, że \(\displaystyle{ x,y\in\ZZ^{*}=\ZZ \setminus \left\{ 0\right\} .}\)
Niech \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }; y=\left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx }. }\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \cdot y>0.}\) Oznacza to, że \(\displaystyle{ \left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx }=\left[ \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2, x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1\right) \right] _{ \approx } >0}\), a zatem na mocy początkowego dowodu lewa współrzędna pary jest większa od prawej współrzędnej pary, (nie mogą być równe, gdyż otrzymalibyśmy zero, a ten iloczyn jest większy od zera), czyli \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2> x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1. }\)
Rozważmy teraz dwa przypadki:
\(\displaystyle{ x_1>x_2.}\) Wtedy \(\displaystyle{ (x_1-x_2)\in\NN_{+}}\), więc \(\displaystyle{ y_1 \cdot \left( x_1-x_2\right) \ge y_2\left( x_1-x_2\right) }\),i ponieważ \(\displaystyle{ (x_1-x_2)\in\NN_+}\), w szczególności jest to liczba naturalna różna od zera, więc skracając otrzymamy \(\displaystyle{ y_1 \ge y_2}\), a więc \(\displaystyle{ y \ge 0}\), ponieważ \(\displaystyle{ x_1>x_2}\), to \(\displaystyle{ x=\left[ \left( \left( x_1,x_2\right) \right) \right] _{ \approx } >0}\), i \(\displaystyle{ y>0.}\)
W pozostałym przypadku \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x =\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }\neq 0}\), to \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\). A zatem \(\displaystyle{ x_1<x_2.}\) Wtedy \(\displaystyle{ (x_2-x_1)\in\NN_+.}\) Wtedy \(\displaystyle{ y_2 \cdot \left( x_2-x_1\right) \ge y_1\left( x_2-x_1\right)}\) , i skracając przez liczbę naturalną dodatnią \(\displaystyle{ (x_2-x_1)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ y_2 \ge y_1,}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ -y=\left[ \left( y_2,y_1\right) \right] _{ \approx } \ge 0}\), więc również \(\displaystyle{ y \le 0}\) (łatwo się przekonać, że dla \(\displaystyle{ a\in\ZZ}\), warunki \(\displaystyle{ -a \ge 0}\) i \(\displaystyle{ a \le 0}\) są równoważne), zatem \(\displaystyle{ y<0}\), i ponieważ \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }<0.}\)
Kończy to dowód implikacji w jedną stronę. Aby pokazać implikację w drugą stronę, to:
Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ x,y>0}\), wtedy dla \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }}\) mamy \(\displaystyle{ x_1>x_2}\), i podobnie dla \(\displaystyle{ y}\), mamy \(\displaystyle{ y_1>y_2.}\) (Idea dowodu jest taka, żeby pokazać nierówność \(\displaystyle{ x_1\left( y_1-y_2\right) >x_2\left( y_1-y_2\right) }\), gdyż to jest równoważna postać tego co nam trzeba. Jednak na zbiorze liczb naturalnych nie ma zdefiniowanego odejmowania, więc to jest nieścisłe uzasadnienie). Zrobimy to formalniej::
Ponieważ \(\displaystyle{ y_1>y_2}\), to niech \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\) bedzie taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ y_1=y_2+a.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1=x_1 \cdot y_2+x_1 \cdot a}\), oraz \(\displaystyle{ x_2 \cdot y_1=x_2 \cdot y_2 + x_2\cdot a}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x_1>x_2}\), oraz \(\displaystyle{ a\in\NN_{+}}\), to również \(\displaystyle{ x_1 \cdot a>x_2 \cdot a.}\)
A zatem \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2=x_1 \cdot y_2+x_1 \cdot a+x_2 \cdot y_2>x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot a+x_2 \cdot y_2=x_1 \cdot y_2+\left( x_2 \cdot y_2+x_2 \cdot a \right) =x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1}\), a więc \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2> x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1}\), a więc \(\displaystyle{ \left[ \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2, x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1\right) \right] _{ \approx } >0,}\) a więc \(\displaystyle{ x \cdot y>0.}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x,y<0}\), to podobnie dla \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }; y=\left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx }}\), mamy\(\displaystyle{ x_1<x_2, y_1<y_2.}\) Niech \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\) będzie taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ y_2=y_1+a.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_2 \cdot y_2=x_2 \cdot y_1+x_2 \cdot a}\), i podobnie \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_2=x_1 \cdot y_1+x_1 \cdot a.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to \(\displaystyle{ x_1 \cdot a<x_2 \cdot a}\) ( \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\) ), a zatem
\(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2= x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_1 +x_2 \cdot a> x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_1+x_1 \cdot a=\left( x_1 \cdot y_1+x_1 \cdot a\right) +x_2 \cdot y_1=(x_1 \cdot y_2)+x_2 \cdot y_1}\), a więc \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2> x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1,}\) co podobnie jak wcześniej oznacza, że \(\displaystyle{ x \cdot y>0. \square}\)
Zacznijmy od obserwacji, że liczba całkowita \(\displaystyle{ [(n,m)] _{ \approx } }\) jest większa lub równa od \(\displaystyle{ 0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n\ge m}\).
Dowód:
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } ,y=\left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx } .}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \cdot y=0;}\) wtedy \(\displaystyle{ \left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx } =\left[ \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2, x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1\right) \right] _{ \approx } =0=\left[ \left( \left( 0,0\right) \right) \right] _{ \approx }}\), a zatem \(\displaystyle{ (0,0)\approx \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2, x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1\right) }\), a zatem z definicji relacji \(\displaystyle{ \approx}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ 0+( x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1) =0+ \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2\right),}\) czyli \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1= x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2.}\) Jeśli \(\displaystyle{ y=0}\), to teza jest spełniona. Załóżmy więc, ze \(\displaystyle{ y \neq 0,}\) i pokażmy, że \(\displaystyle{ x=0.}\) Dalej rozważmy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ y_2 \ge y_1}\), wtedy \(\displaystyle{ (y_2-y_1)\in\NN_{+}}\) (nie może być \(\displaystyle{ y_1=y_2}\) gdyż wtedy \(\displaystyle{ y=\left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx }=0}\)- sprzeczność), zatem \(\displaystyle{ y_2>y_1}\); więc niech \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\) będzie taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ y_2=y_1+a}\), wtedy \(\displaystyle{ x_1 \cdot \left( y_1+a\right) +x_2 \cdot y_1= x_1 \cdot y_1+x_2\cdot\left( y_1+a\right) .}\) A zatem \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_1 \cdot a+x_2 \cdot y_1=x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_1+x_2 \cdot a}\). Skracamy składnik \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_1}\), i otrzymujemy:\(\displaystyle{ x_1 \cdot a=x_2 \cdot a}\), ponieważ \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\), w szczególności \(\displaystyle{ a \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), tak więc \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } =0.}\)
W pozostałym przypadku \(\displaystyle{ y_1>y_2}\), wtedy podobnie wyłączamy liczbę naturalną \(\displaystyle{ (y_1-y_2),}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ x_2=x_1}\), a więc \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } =0.}\)
Kończy to dowód implikacji w jedną stronę. Aby pokazać implikcję w drugą stronę, to załóżmy, że \(\displaystyle{ x=0=\left[ \left( 0,0\right) \right] _{ \approx } }\)i wyznaczmy \(\displaystyle{ x \cdot y}\), niewątpliwie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x \cdot y=\left[ \left( 0,0\right) \right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx } =\left[ \left( 0 \cdot y_1+0 \cdot y_2, 0 \cdot y_2+0 \cdot y_1\right) \right] _{ \approx } =\left[ \left( 0,0\right) \right] _{ \approx }=0.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y=0}\), to podobnie uzasadniamy, że \(\displaystyle{ x \cdot y=0}\), co kończy dowód.
Wykażemy teraz regułę znaków przy mnożeniu dwóch liczb całkowitych, tzn. dla \(\displaystyle{ x,y\in\ZZ:}\)
\(\displaystyle{ x \cdot y>0 \Longleftrightarrow \left[ (x,y>0) \vee (x,y<0)\right] .}\)
Dowód:
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\), to równoważność zachodzi (obie strony równoważności są fałszywe). Załóżmy dalej, że \(\displaystyle{ x,y\in\ZZ^{*}=\ZZ \setminus \left\{ 0\right\} .}\)
Niech \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }; y=\left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx }. }\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \cdot y>0.}\) Oznacza to, że \(\displaystyle{ \left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx } \cdot \left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx }=\left[ \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2, x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1\right) \right] _{ \approx } >0}\), a zatem na mocy początkowego dowodu lewa współrzędna pary jest większa od prawej współrzędnej pary, (nie mogą być równe, gdyż otrzymalibyśmy zero, a ten iloczyn jest większy od zera), czyli \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2> x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1. }\)
Rozważmy teraz dwa przypadki:
\(\displaystyle{ x_1>x_2.}\) Wtedy \(\displaystyle{ (x_1-x_2)\in\NN_{+}}\), więc \(\displaystyle{ y_1 \cdot \left( x_1-x_2\right) \ge y_2\left( x_1-x_2\right) }\),i ponieważ \(\displaystyle{ (x_1-x_2)\in\NN_+}\), w szczególności jest to liczba naturalna różna od zera, więc skracając otrzymamy \(\displaystyle{ y_1 \ge y_2}\), a więc \(\displaystyle{ y \ge 0}\), ponieważ \(\displaystyle{ x_1>x_2}\), to \(\displaystyle{ x=\left[ \left( \left( x_1,x_2\right) \right) \right] _{ \approx } >0}\), i \(\displaystyle{ y>0.}\)
W pozostałym przypadku \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x =\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }\neq 0}\), to \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\). A zatem \(\displaystyle{ x_1<x_2.}\) Wtedy \(\displaystyle{ (x_2-x_1)\in\NN_+.}\) Wtedy \(\displaystyle{ y_2 \cdot \left( x_2-x_1\right) \ge y_1\left( x_2-x_1\right)}\) , i skracając przez liczbę naturalną dodatnią \(\displaystyle{ (x_2-x_1)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ y_2 \ge y_1,}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ -y=\left[ \left( y_2,y_1\right) \right] _{ \approx } \ge 0}\), więc również \(\displaystyle{ y \le 0}\) (łatwo się przekonać, że dla \(\displaystyle{ a\in\ZZ}\), warunki \(\displaystyle{ -a \ge 0}\) i \(\displaystyle{ a \le 0}\) są równoważne), zatem \(\displaystyle{ y<0}\), i ponieważ \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }<0.}\)
Kończy to dowód implikacji w jedną stronę. Aby pokazać implikację w drugą stronę, to:
Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ x,y>0}\), wtedy dla \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }}\) mamy \(\displaystyle{ x_1>x_2}\), i podobnie dla \(\displaystyle{ y}\), mamy \(\displaystyle{ y_1>y_2.}\) (Idea dowodu jest taka, żeby pokazać nierówność \(\displaystyle{ x_1\left( y_1-y_2\right) >x_2\left( y_1-y_2\right) }\), gdyż to jest równoważna postać tego co nam trzeba. Jednak na zbiorze liczb naturalnych nie ma zdefiniowanego odejmowania, więc to jest nieścisłe uzasadnienie). Zrobimy to formalniej::
Ponieważ \(\displaystyle{ y_1>y_2}\), to niech \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\) bedzie taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ y_1=y_2+a.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1=x_1 \cdot y_2+x_1 \cdot a}\), oraz \(\displaystyle{ x_2 \cdot y_1=x_2 \cdot y_2 + x_2\cdot a}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x_1>x_2}\), oraz \(\displaystyle{ a\in\NN_{+}}\), to również \(\displaystyle{ x_1 \cdot a>x_2 \cdot a.}\)
A zatem \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2=x_1 \cdot y_2+x_1 \cdot a+x_2 \cdot y_2>x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot a+x_2 \cdot y_2=x_1 \cdot y_2+\left( x_2 \cdot y_2+x_2 \cdot a \right) =x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1}\), a więc \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2> x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1}\), a więc \(\displaystyle{ \left[ \left( x_1 \cdot y_1+x_2\cdot y_2, x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1\right) \right] _{ \approx } >0,}\) a więc \(\displaystyle{ x \cdot y>0.}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x,y<0}\), to podobnie dla \(\displaystyle{ x=\left[ \left( x_1,x_2\right) \right] _{ \approx }; y=\left[ \left( y_1,y_2\right) \right] _{ \approx }}\), mamy\(\displaystyle{ x_1<x_2, y_1<y_2.}\) Niech \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\) będzie taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ y_2=y_1+a.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_2 \cdot y_2=x_2 \cdot y_1+x_2 \cdot a}\), i podobnie \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_2=x_1 \cdot y_1+x_1 \cdot a.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to \(\displaystyle{ x_1 \cdot a<x_2 \cdot a}\) ( \(\displaystyle{ a\in\NN_+}\) ), a zatem
\(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2= x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_1 +x_2 \cdot a> x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_1+x_1 \cdot a=\left( x_1 \cdot y_1+x_1 \cdot a\right) +x_2 \cdot y_1=(x_1 \cdot y_2)+x_2 \cdot y_1}\), a więc \(\displaystyle{ x_1 \cdot y_1+x_2 \cdot y_2> x_1 \cdot y_2+x_2 \cdot y_1,}\) co podobnie jak wcześniej oznacza, że \(\displaystyle{ x \cdot y>0. \square}\)