Jak się uczycie matematyki?

[Rozbitek]

Co robicie na przykład w sytuacji, gdy czytacie treść twierdzenia, czytacie go drugi raz, przecieracie oczy, czytacie znowu i nadal nie rozumiecie o czym właściwie jest mowa?
Jak zabieracie się do zrozumienia i nabrania umiejętności wykorzystywania tego twierdzenia?

[Jan Kraszewski]

Skoro nie rozumiesz, o czym jest mowa, to zapewne problem leży gdzieś wcześniej. W związku z tym należałoby cofnąć się i znaleźć to miejsce...

JK

[Rozbitek]

Na przykład nie mogę za nic zrozumieć definicji \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała generowanego przez rodzinę.

Powiedzmy, że względem \(\displaystyle{ \RR}\).

Czytam już w 5 książce, pytałem na forum, a nadal nie wiem skąd mam wiedzieć co będzie tym \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem generowanym na przykład przez rodzinę: \(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ A | 1 \in A \right\}}\)

I teraz wiem jaka jest definicja, tylko że nie umiem z niej skorzystać, bo trudno teraz rozpatrywać wszystkie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \RR}\).

Wydaje mi się, że własnie to uniemożliwia mi zrozumienie drugiego kosmosu jakim są zbiory borelowskie.

[Premislav]

Odpowiadając na pytanie: szukam tej definicji w innych źródłach, idę na konsultacje, szukam w necie czy książkach jakichś prostych zadań rozwiązanych z użyciem tego pojęcia, ew. odkładam to i wracam dzień później.
A jeśli dalej to wszystko nie pomaga (czyli często), kupuję alkohol, włączam melancholijną muzykę i staram się zapomnieć, że istnieję (nie polecam).

[Jan Kraszewski]

Na przykład nie mogę za nic zrozumieć definicji \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała generowanego przez rodzinę.

Nie umiesz zrozumieć definicji czy też masz problemy z wyznaczeniem/ogarnięciem konkretnych \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał? Bo to niezupełnie to samo.

Czytam już w 5 książce, pytałem na forum, a nadal nie wiem skąd mam wiedzieć co będzie tym \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem generowanym na przykład przez rodzinę: \(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ A | 1 \in A \right\}}\)

No to akurat jest dość proste. Jedną z metod badania \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała generowanego przez rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest zastanowienie się, co tej rodzinie brakuje, by być \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem, dodanie "braków" i powtórzenie procedury. Ta konkretna rodzina jest oczywiście zamknięta na przeliczalne sumy, zatem brakuje je zamkniętości na dopełnienia. Jak dodamy dopełnienia zbiorów z \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) to dostaniemy całe \(\displaystyle{ P(\RR)}\) i już.

Oczywiście nie zawsze jest tak łatwo.

Wydaje mi się, że własnie to uniemożliwia mi zrozumienie drugiego kosmosu jakim są zbiory borelowskie.

No ale co rozumiesz przez zrozumienie zbiorów borelowskich? Poznanie wszystkich takich zbiorów? To jest po prostu \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało generowane przez rodzinę wszystkich zbiorów otwartych.

JK

[Rozbitek]

Czytam już w 5 książce, pytałem na forum, a nadal nie wiem skąd mam wiedzieć co będzie tym \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem generowanym na przykład przez rodzinę: \(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ A | 1 \in A \right\}}\)

No to akurat jest dość proste. Jedną z metod badania \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała generowanego przez rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest zastanowienie się, co tej rodzinie brakuje, by być \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem, dodanie "braków" i powtórzenie procedury. Ta konkretna rodzina jest oczywiście zamknięta na przeliczalne sumy, zatem brakuje je zamkniętości na dopełnienia. Jak dodamy dopełnienia zbiorów z \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) to dostaniemy całe \(\displaystyle{ P(\RR)}\) i już.

Dlaczego powtarzamy operację, skoro już dodaliśmy to czego brakowało?

Wydaje mi się, że własnie to uniemożliwia mi zrozumienie drugiego kosmosu jakim są zbiory borelowskie.

No ale co rozumiesz przez zrozumienie zbiorów borelowskich? Poznanie wszystkich takich zbiorów? To jest po prostu \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało generowane przez rodzinę wszystkich zbiorów otwartych.

JK

Rodzina wszystkich zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ \RR}\), to dosyć duża rodzina, jak poznać czego jej brakuje do bycia sigma-ciałem (lub, że nim jest)?

Odpowiadając na pytanie: szukam tej definicji w innych źródłach, idę na konsultacje, szukam w necie czy książkach jakichś prostych zadań rozwiązanych z użyciem tego pojęcia, ew. odkładam to i wracam dzień później.
A jeśli dalej to wszystko nie pomaga (czyli często), kupuję alkohol, włączam melancholijną muzykę i staram się zapomnieć, że istnieję (nie polecam).

Jaką playlistę na dziś wieczór mi proponujesz?

[sdd1975]

A jeśli dalej to wszystko nie pomaga (czyli często), kupuję alkohol, włączam melancholijną muzykę i staram się zapomnieć, że istnieję (nie polecam).

Można też zawsze pomyśleć o filologii polskiej

[Jan Kraszewski]

Dlaczego powtarzamy operację, skoro już dodaliśmy to czego brakowało?

W tym konkretnym przypadku już nie powtarzamy, bo dostaliśmy wszystko (i więcej nie będzie...).

Natomiast w ogólności trzeba to zrobić (a w zasadzie sprawdzić, czy trzeba to zrobić), a zrozumienie dlaczego jest kluczem do zrozumienia, na czym polega generowanie. Otóż dodając brakujące dopełnienia sprawiasz, że rodzina staje się zamknięta na dopełnienia, ale dodanie nowych zbiorów może sprawić, że przestanie być zamknięta na przeliczalne sumy. Musisz zatem dodać przeliczalne sumy zbiorów tej większej rodziny, Wtedy to, co otrzymasz będzie zamknięte na przeliczalne sumy, ale może przestać być zamknięte na dopełnienia itd. Potem jest jeszcze kwestia zrozumienia, jak długo trzeba powtarzać to "dodawanie".

Rodzina wszystkich zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ \RR}\), to dosyć duża rodzina, jak poznać czego jej brakuje do bycia sigma-ciałem (lub, że nim jest)?

Jest zamknięta na dopełnienia?

JK

[Rozbitek]

Dlaczego powtarzamy operację, skoro już dodaliśmy to czego brakowało?

W tym konkretnym przypadku już nie powtarzamy, bo dostaliśmy wszystko (i więcej nie będzie...).

Natomiast w ogólności trzeba to zrobić (a w zasadzie sprawdzić, czy trzeba to zrobić), a zrozumienie dlaczego jest kluczem do zrozumienia, na czym polega generowanie. Otóż dodając brakujące dopełnienia sprawiasz, że rodzina staje się zamknięta na dopełnienia, ale dodanie nowych zbiorów może sprawić, że przestanie być zamknięta na przeliczalne sumy. Musisz zatem dodać przeliczalne sumy zbiorów tej większej rodziny, Wtedy to, co otrzymasz będzie zamknięte na przeliczalne sumy, ale może przestać być zamknięte na dopełnienia itd. Potem jest jeszcze kwestia zrozumienia, jak długo trzeba powtarzać to "dodawanie".

Dziękuję za wyjaśnienie. Czy zamknięcie na dopełnienia i na sumy, to jedyne, które musi spełniać sgima-ciało?

Rodzina wszystkich zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ \RR}\), to dosyć duża rodzina, jak poznać czego jej brakuje do bycia sigma-ciałem (lub, że nim jest)?

Jest zamknięta na dopełnienia?

JK

Nie jest chyba ani na dopełnienia, ani na sumy, bo \(\displaystyle{ (-infty ; 1)' = [1; infty)}\).

[Jan Kraszewski]

Czy zamknięcie na dopełnienia i na sumy, to jedyne, które musi spełniać sgima-ciało?

No a jaka jest definicja \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała?

Nie jest chyba ani na dopełnienia, ani na sumy, bo \(\displaystyle{ (-infty ; 1)' = [1; infty)}\).

Naprawdę uważasz, że rodzina wszystkich otwartych podzbiorów prostej nie jest zamknięta na sumy?

JK

[Rozbitek]

Czy zamknięcie na dopełnienia i na sumy, to jedyne, które musi spełniać sgima-ciało?

No a jaka jest definicja \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała?

Słuszna uwaga

Nie jest chyba ani na dopełnienia, ani na sumy, bo \(\displaystyle{ (-infty ; 1)' = [1; infty)}\).

Naprawdę uważasz, że rodzina wszystkich otwartych podzbiorów prostej nie jest zamknięta na sumy?

JK

Czyli \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) nie jest zbiorem otwartym?

[Jan Kraszewski]

Czyli \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) nie jest zbiorem otwartym?

To pytanie bardzo dobrze nawiązuje do tego, co napisałem na początku - problemy leżą gdzieś wcześniej.

Jeżeli nie jesteś pewien, czy zbiór \(\displaystyle{ \{1\}}\) jest otwarty, czy nie, to znaczy, że brak Ci podstawowych intuicji dotyczących topologii na prostej, a bez tego trudno myśleć o zajmowaniu się zbiorami borelowskimi.

JK

PS
Nie jest.

[Rozbitek]

brak Ci podstawowych intuicji dotyczących topologii na prostej

Gdzie mogę taką nabyć? Poleci Pan Doktor jakąś literaturę?