Wyznacz wartość oczekiwaną gdy funkcja w przedziale (−∞,+∞)

[Krzysztof2002]

Wyznacz wartość oczekiwaną gdy funkcja w przedziale (−∞,+∞):

f(x)= \(\displaystyle{ \frac{7}{10}}\) \(\displaystyle{ e^{\left-| \frac{7x}{5} \right| }}\)

x \(\displaystyle{ \in}\)(−∞,+∞)
jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa.

Generalnie coś tam ogarniam z tego tematu, ale nie wiem jak ugryźć to zadanie, jak zacząć.

[Janusz Tracz]

Z definicji wartość oczekiwana to:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_{- \infty }^{ \infty }xf(x) \mbox{d}x}\)

Tu wygodniej jest rozbić to na:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_{- \infty }^{ 0 }xf(x) \mbox{d}x+\int_{0 }^{ \infty }xf(x) \mbox{d}x}\)

jako, że na tych przedziałach łatwo się można pozbyć wartości bezwzględnej co pozwoli już policzyć te całki.

[Premislav]

Ja bym proponował ominąć obliczenia (choć można i tak): dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac 7 {10} e^{-\left|\frac{7x}{5}\right|}}\) mamy \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)}\),
zatem
\(\displaystyle{ xf(x)=-((-x)f(-x))}\) (krótko mówiąc gęstość jest parzysta, więc funkcja podcałkowa, którą otrzymasz przy liczeniu wartości oczekiwanej będzie nieparzysta), a przedział jest symetryczny względem zera. Wystarczy więc uargumentować, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X)= \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot \frac 7{10}e^{-\left|\frac{7x}{5}\right|}\,\dd x}\)
jest zbieżna (można np. pokazać bezwzględną zbieżność), a natychmiast otrzymasz bez obliczeń, że jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

[szw1710]

Premislav, Pozostaje jeszcze sprawdzenie czy istotnie podana funkcja jest gęstością.

[Premislav]

To mamy akurat w treści zadania, więc sprawdzać tego nie trzeba.
W każdym razie dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha\in\RR^+, \ \beta\in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\alpha}{2}e^{-\alpha|x-\beta|} \,\dd x=1}\) (jak dobrze pamiętam, jest to funkcja gęstości rozkładu Laplace'a), tutaj \(\displaystyle{ \alpha=\frac{7}{5}, \ \beta=0}\).

[szw1710]

To mamy akurat w treści zadania, więc sprawdzać tego nie trzeba.

Z tym się wybitnie nie zgodzę. Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=e^x.}\)

[Premislav]

Przyjmuję domyślny nośnik gęstości jako \(\displaystyle{ (-infty, 0)}\) i obliczam \(\displaystyle{ int_{-infty}^{0}xe^x,dd x=-1}\). Nie no, racja, zawsze warto sprawdzać, czy treść zadania ma w ogóle sens, ponieważ zdarzają się takie kwiatki, jak tutaj:
440177.htm

[Krzysztof2002]

Dziękuję bardzo wszystkim za pomoc