Paraboloida w kuli

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2387 razy
Pomógł: 643 razy

Paraboloida w kuli

Post autor: mol_ksiazkowy » 26 kwie 2019, o 11:13

Obliczyć pole części paraboloidy \(\displaystyle{ x^2+y^2=2z,}\) która jest w kuli \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 \leq 3.}\)
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2019, o 17:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5047
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1109 razy

Paraboloida w kuli

Post autor: janusz47 » 26 kwie 2019, o 23:32

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 +z^2 \leq 3}\)

\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 2z}\)

Przecięcie się powierzchni

\(\displaystyle{ z^2 +2z -3 = (z+3)(z - 2)= 0,}\)

\(\displaystyle{ z_{1}= -3}\) - odrzucamy.

\(\displaystyle{ z_{2} = 2.}\)

\(\displaystyle{ x^2 +y^2 = 2\cdot 2=4.}\)

Współrzędne walcowe:

\(\displaystyle{ ( r, \theta, z) \rightarrow (r\cos(\theta), r\sin(\theta), z),}\)

\(\displaystyle{ Jac(r, \theta) = r.}\)

Element płata powierzchni paraboloidy

\(\displaystyle{ ds = \sqrt{1 + z'^2_{x} + z'^2_{y}}dx dy}\)

\(\displaystyle{ ds = \sqrt{1 +x^2 +y^2}dxdy = \sqrt{1 +r^2}dr}\)

\(\displaystyle{ |S| = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \sqrt{1+r^2}r dr d\theta =...= \frac{2}{3}\pi (5\sqrt{5}-1).}\)

ODPOWIEDZ