Ciągłość i różniczkowalność przestrzeni wektorowej

[camillus25]

Mam takie oto zadanie:

Niech \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\) to przestrzenie unormowane i \(\displaystyle{ IntD=D \subset V}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ T \in Map(D;W)}\) jest różniczkowalne w punkcie \(\displaystyle{ \vec{v_{0}} \in D}\), to jest w tym punkcie ciągłe.

Chciałem na początku skorzystać z pochodnej Frecheta, że jeżeli \(\displaystyle{ T}\) ma pochodną w punkcie \(\displaystyle{ \vec{v_{0}} \in D}\), to:
\(\displaystyle{ \exists dT(\vec{v_{0}}) \in LC(V;W)}\) takie, że \(\displaystyle{ T(\vec{v_{0}} + \vec{h})=T(\vec{v_{0}})+dT(\vec{v_{0}})(\vec{h})+r(\vec{v_{0}},\vec{h})}\)
A następnie chciałem pokazać, że norma z różnicy \(\displaystyle{ T(\vec{v_{0}} + \vec{h})}\) i \(\displaystyle{ T(\vec{v_{0}})}\) zbiega do zera przy \(\displaystyle{ \vec{h} \rightarrow \vec{0}}\)

Czy coś w taki sposób mogę pokazać, że odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\) jest ciągłe w punkcie?

[szw1710]

Robi się to podobnie jak na prostej.