Grawitacyjny wypływ z rury

[Fermion]

Potrzebuję obliczyć wypływ wody z rury o długości \(\displaystyle{ 200 m}\). Rura jest \(\displaystyle{ DN 630 mm}\) a średnica rury przez którą wypływa jest \(\displaystyle{ DN 110 mm}\). Zakładamy że odpływ z rury jest poziomo

Może ktoś pomóc rozwiązać lub chociaż naprowadzić jak to rozwiązać?
Pozdrawiam

[kruszewski]

Jak zawsze proszę zacząć od rysunku (schemat) z oznaczaniami.

[Fermion]

AU

8Yk76Jv.jpg (13.7 KiB) Przejrzano 840 razy

Dane :

\(\displaystyle{ L_{rury} = 200 m = 20 000 mm}\)

\(\displaystyle{ \phi _{rury} = 630 mm}\)

\(\displaystyle{ \phi _{wylewu} = 110 mm}\)

\(\displaystyle{ P}\) = atmosferyczne (zbiornik bezciśnieniowy)

Szukane :

\(\displaystyle{ t_{wylewania} = ?}\)

Znalazłem taki oto wzór na czas opróżniania zbiornika między wskazanymi poziomami, ale wydaję mi się ze trzeba "dostosować" go do naszej sytuacji i nie wiem jak to zrobić.

\(\displaystyle{ t_{wylewania} = \frac{1}{\mu} \cdot \frac{F}{ f_{0} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{g} } \cdot ( \sqrt{h} - \sqrt{ h_{1} } )}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \mu}\) - współczynnik wydatku
\(\displaystyle{ F}\) - powierzchnia swobodna zbiornika
\(\displaystyle{ f_{0}}\) - pole przekroju otworu
\(\displaystyle{ g}\) - przyśpieszenie ziemskie
\(\displaystyle{ h , h_{1}}\) - poziom początkowy, poziom końcowy

PS - informacyjnie edytowałem pierwszy post i zmieniłem założenia. Rura wypływowa już nie jest u spodu tylko w poziomie jak na schemacie

[kruszewski]

437750.htm#p5567528

[Fermion]

Dziękuję za link. Z tego co wyczytałem, muszę skorzystać z poniższego wzoru:

\(\displaystyle{ t_{c}=\frac{4L}{3 \mu A_{o} \sqrt{2g}} \left[D^{\frac{3}{2}}-(D-H_{p})^{\frac{3}{2}}\right]}\)

Dalej:

\(\displaystyle{ A_{0} = \pi r^{2} = 3,14 \cdot 55^{2} \approx 9498 mm^{2} = 0.009498 m^{2}}\)

\(\displaystyle{ L = 200 m}\)

\(\displaystyle{ D_{zb} = 630mm = 0,63 m}\)

==========================================

1) Nie byłem pewny jak określić \(\displaystyle{ \mu}\). Znalazłem taki oto wzór:

\(\displaystyle{ \mu = \frac{ V_{rz} }{ f_{0} \sqrt{2gz} }}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ V _{rz} = \frac{m}{t\rho}}\)

\(\displaystyle{ m}\) - masa wody
\(\displaystyle{ t}\) - założonyczas wypływu wody ze zbiornika (niby skąd jak właśnie to chce wyznaczyć)
\(\displaystyle{ \rho}\) - gęstość wody
\(\displaystyle{ f_{0}}\) - pole przekroju otworu
\(\displaystyle{ g}\) - przyspieszenie ziemskie
\(\displaystyle{ z}\) - nie mam pojęcia


2) Znalazłem jednak tabele z podanymi współczynnikami wydatku przelewu dla różnych sytuacji. Przykładowo dla przelewu niezatopionego (a taki jest u mnie) korona dobrze zaokrąglona, łagodne wprowadzenie przez ukośne skrzydełka (szczerze to dużo mi to nie mówi) \(\displaystyle{ \mu=0,83}\)

Czy ja mam wyliczyć ten współczynnik czy wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ \mu=0,83}\) z tabeli?

3) Ponadto nie jest dla mnie jasne dlaczego \(\displaystyle{ StudentIB}\) w podanym przez Pana linku dzielił pole przekroju przez \(\displaystyle{ 4}\). Przekrój jest kołem więc jego pole = \(\displaystyle{ \pi r^{2}}\)

==========================================

Zakładając, że wystarczy współczynnik wydatku z tabeli otrzymujemy:

\(\displaystyle{ t_{c}=\frac{4L}{3 \mu A_{o} \sqrt{2g}} \left[D^{\frac{3}{2}}-(D-H_{p})^{\frac{3}{2}}\right]}\)

\(\displaystyle{ t_{c}=\frac{4 \cdot 200}{3 \cdot 0,83 \cdot 0.009498 \sqrt{2 \cdot 9,81}} \left[0,63^{\frac{3}{2}}-(0,63-0,63)^{\frac{3}{2}}\right]}\)

\(\displaystyle{ t_{c}=\frac{800}{0,104}} \cdot 0,63^{\frac{3}{2}}}\)

\(\displaystyle{ t_{c}=\frac{800}{0,104}} \cdot \sqrt{0,63^3} }}\)

\(\displaystyle{ t_{c}=\frac{800}{0,104}} \cdot 0,5 }}\)

\(\displaystyle{ t_{c}=3846 s = 64,1 min}\)

Czy według Pana obliczenia i przyjęte założenia są poprawne? Przepraszam że post może być trochę nieczytelny ale chciałem zawrzeć w nim wszystkie moje mysli i wątpliwości.

Pozdrawiam

[StudentIB]

3) Ponadto nie jest dla mnie jasne dlaczego \(\displaystyle{ StudentIB}\) w podanym przez Pana linku dzielił pole przekroju przez \(\displaystyle{ 4}\). Przekrój jest kołem więc jego pole = \(\displaystyle{ \pi r^{2}}\)
Pozdrawiam

Owszem, ale ja tam używałem średnicy a wtedy pole koła to \(\displaystyle{ \frac{\pi d^{2}}{4}}\)

[Fermion]

Owszem, ale ja tam używałem średnicy a wtedy pole koła to \(\displaystyle{ \frac{\pi d^{2}}{4}}\)

Kurczę faktycznie. Kiedyś byłem (i jestem) noga z matmy i nie widzę czasami tak oczywistych rzeczy. Na starość stwierdziłem że nauki ścisłe są piękne i że kiedyś byłem głupi że się nie uczyłem i teraz chociaż trochę chciałbym poćwiczyć umysł

=================================

Prosiłbym o ocenę moich powyższych wyliczeń.

Próbowałem to liczyć inną metodą. Proszę o ocenę tej metody

Najpierw liczę prędkość wypływu cieczy:

\(\displaystyle{ v= \sqrt{2gh}}\)

\(\displaystyle{ v= 3,51 \frac{m}{s}}\)


Teraz liczę ile litrów ucieka z rury w jednostce czasu:

\(\displaystyle{ 3,51 \cdot A_{0} = 3,51 \cdot 0,0094 = 0,03 \frac{ m^{3} }{s} \approx 33 \frac{L}{s}}\)

Liczę teraz ile jest \(\displaystyle{ m^{3}}\) w rurze :

\(\displaystyle{ V = \pi r^{2}h = 3,14 \cdot 0,315^{2} \cdot 200 \approx 62 m^{3}}\)

Skoro w zbiorniku jest \(\displaystyle{ 32 m^{3}}\) a mi ucieka z niego \(\displaystyle{ 33 \frac{l}{s}}\) (czyli \(\displaystyle{ 0,033 \frac{ m^{3} }{s}}\)) to rachunek jest prosty:

\(\displaystyle{ \frac{62}{0,033} = 1878 s = 31,3 min}\)

Oczywiście zakładając że prędkość wypływu jest stała co nie jest prawdą bo zwierciadło się obniża i ciśnienie jest mniejsze

[StudentIB]

Myślę, że taki sposób daje zbyt duży błąd żeby to miało sens. Nie bez powodu we wszystkich książkach do mechaniki płynów zagadnienie nieustalonego wypływu cieczy przez otwór wymaga zastosowania podejścia, w którym wychodzi się od całki a następnie wyprowadza wzór dla danego typu zbiornika żeby uwzględnić zmianę położenia zwierciadła cieczy. Zresztą bardzo dobrze widać to po wynikach uzyskanych dla obu metod. Sposobem literaturowym wyszła godzina a uproszczonym pół.

[Fermion]

Czy mógłbyś mi potwierdzić ze dobrze wyliczyłem to pierwszą metodą? w podanym linku było mnóstwo wzorów nie wiem czy wybrałem dobry. Ponadto w podanym linku odpływ jest od dołu, u mnie jest "od boku". Czy to nie wpłynie na samą postać wzoru? czy będzie to raczej zaniedbywana różnica?