Co z tą logiką?

[adzik81]

Niniejszy wątek jest natury filozoficznej.

Kilka lat temu wciągnąłem się w logikę. Trafiłem do niej przez filozofię, aczkolwiek żadnym filozofem z dyplomem nie jestem. Raczej amatorem, podobnie jak amatorem logiki. Czytam czasem różne książki matematyków o matematyce, jak choćby „Bezmiar matematycznej wyobraźni” Z. Pogody i K.Ciesielskiego czy „Świat matematyki” Davisa i Hersha. Generalnie, we wszystkich publikacjach zaznacza się pozytywny wpływ logiki na matematykę. Tym bardziej zdziwiła mnie opinia krytyczna pana Marka Kordosa (matematyka i historyka matematyki) w książce „Wykłady z historii matematyki”. Pisze on tak:

Kończąc ten króciutki tekst poświęcony udziałowi logiki w matematyce chciałbym stwierdzić, że logika właściwie nigdy matematyce nie pomogła — wspierała tylko, niejako ex post, jej działanie. Zakres stosowanych metod wybierany był na innej drodze — chodziło o to, by uzyskiwać jakieś prawdy, a to się w logice zmieścić nie chciało. Unikanie błędów nie jest bowiem aktem twórczym. Duże znaczenie, jakie logika matematyczna uzyskała w pierwszej połowie XX wieku, bierze się stąd, że postanowiła odpowiadać również na ontologiczne problemy matematyki (o czym będzie za chwilę mowa) oraz — później — ze względu na domniemanie, że może się niesłychanie przydać informatyce (o czym pisał nie będę). To, że matematyka produkuje prawdy, jest rzeczą powszechnie uznaną. Jest też rzeczą oczywistą, że w obrębie matematyki dowieść tego się nie da.

A tu jeszcze link do artykułu tegoż autora odnośnie logiki:
... tpliwosci/

Wiele się mówi Tarskim, o wpływie logików na rozwój teorii modeli, teorii mnogości czy wykorzystaniu logiki w informatyce i filozofii.
Jak to Waszym zdaniem jest z tą logiką? Jaki jest jej obecny status?

[Rozbitek]

Mam nadzieję, że ktoś mądry się tutaj wypowie. Ja piszę, żeby nie zapomnieć potem tutaj zaglądać do dyskusji.

Pytanie dotyka, mam wrażenie, bardzo "dojrzałej" matematyki. Nie wiem czy twierdzenie Gödla tej dyskusji nie ucina, a przynajmniej nie odbiera jej sensu, ale to jest matematyka na takim poziomie, że nawet nie będę próbował nic mówić.

[krl]

Jak to Waszym zdaniem jest z tą logiką? Jaki jest jej obecny status?

Przy całym szacunku dla Marka Kordosa jako historyka matematyki wypada stwierdzić, że na logice i jej roli w matematyce po prostu się nie zna. Oczywiście, każdy ma prawo do własnego zdania. By pomóc je sobie wyrobić, proponuję samodzielne ćwiczenie: zbadać, ile ze słynnych problemów Hilberta zostało rozwiązanych dzięki zastosowaniu logiki matematycznej? To łatwo można wygooglować...
Odpowiadając na pytania w cytacie:
Logika w matematyce ma się dobrze.

[Premislav]

Nie rozumiem argumentu. Praktycznie każdy problem w matematyce został rozwiązany z użyciem logiki matematycznej, gdyż skorzystano np. z zasady niesprzeczności, czy z prawa negacji implikacji. ¯\_(ツ)_/¯

[Jakub Gurak]

Tylko jest bardzo żmudna, szczególnie stosowana w teorii mnogości(choć nie wiem jak bardzo, nie siedzę w logice, ja staram się rozumieć teorię mnogości ).

A spytam, bo nie uzyskałem odpowiedzi w swoim wątku. Czy takie systemy formalne mają związek z jakimś praktycznym zastosowaniem? Jak tak to jakim, gdzie jest to potrzebne

(Dla mnie też praktyczne zastosowania matematyki to rzecz drugorzędna, ale w tym wypadku mnie to ciekawi, bo słyszałem, że coś takiego jest, a przede wszystkim żmudność dowodów w tych systemach formalnych, szczególnie w teorii mnogości, i trud związany z obsługą tych formalizmów zasługuje na uznanie, zastanawia mnie czy ma głębsze znaczenie- czy ma praktyczne zastosowanie ).

[krl]

@Premislav:
To nie tak. Nie jest prawdą, że matematycy w swoich rozumowaniach (dowodach) używają formalizmu logicznego czy praw logiki z określonego systemu (jawnie). Tzn. myślą sobie np. "Aha, zdanie, które teraz rozpatruję, ma formę, do której mogę zastosować np. prawo przechodniości implikacji, więc dostaję kolejne zdanie w dowodzie". Nie stosują w dowodach jawnie praw logiki. Dowody matematyczne (te poprawne) są oczywiście zgodne z tymi prawami. Trochę tak, jak skoczek narciarski zakreśla w locie parabolę, a dodatkowo manipuluje ciałem, by skoczyć dalej, i wykorzystuje tu fizyczne własności świata, opisane prawami fizyki. Nie znaczy to, że używa świadomie tych praw w czasie skoku.
Kordos w przywołanym cytacie twierdzi, że logika nie była nigdy w matematyce czynnikiem decydującym, bez którego nie doszłoby do danego matematycznego odkrycia. (Z tym się nie zgadzam).
@ Jakub Gurak:
1. Teoria mnogości ma dwie twarze: Raz, jest częścią logiki matematycznej. Zwłaszcza, gdy zajmuje się podstawowymi własnościami zbiorów, istotnymi dla logicznej funkcji spełnianej przez teorię mnogości w matematyce, tzn. funkcji "metateorii" dla matematyki, związanej z redukcją matematyki do teorii mnogości. Dwa, jest samodzielnym działem matematyki, badającym własności zbiorów.
Ma to swoje odzwierciedlenie w klasyfikacji działów matematyki np. w MathSciNet, gdzie teoria mnogości występuje w dwóch miejscach.
2. Bezpośrednie zastosowania logiki matematycznej (w ramach matematyki) w praktyce. Na siłę można by coś wymieniać. Automatyczne dowodzenie twierdzeń (i tzw. logika w informatyce). Logika rozmyta. Możliwe, że coś więcej. Nie są to jednak wg mnie zastosowania spektakularne.
Sama formalizacja matematyki i dowodu matematycznego w zasadzie nie jest robiona, by matematycy w praktyce ją stosowali. Robiona jest z uwagi na badania metamatematyczne (w ramach logiki matematycznej). Fakt istnienia takiej formalizacji jest podstawowy w stosowaniu logiki w matematyce.
Konkretne sposoby formalizacji dowodów matematycznych znajdują zastosowanie w automatycznym dowodzeniu twierdzeń, a dalej w sztucznej inteligencji itd. (ale to już bardziej logika w informatyce).
3. Zastosowania logiki w matematyce (w innych działach matematyki) nie są żmudne. Nie polegają one na zapisywaniu dowodów w sposób w pełni sformalizowany. Przykładowo, metoda forsingu w teorii mnogości (traktowana jako sposób dowodzenia relatywnej niezależności różnych zdań matematycznych) to zastosowanie logiki w matematyce, nagrodzone swego czasu medalem Fieldsa. Samo uzasadnienie metody forsingu wymaga zaawansowanych metod logicznych (wielu specjalistów od forsingu nie zna w pełni tego uzasadnienia). A potem stosowanie jej w praktyce (powiedzmy, na poziomie wyższym niż Aksjomat Martina) wymaga też stosowania trików czysto logicznych (patrz np. proper forsing). No, ale teoria mnogości sama w sobie może być traktowana jako część logiki...

[Jakub Gurak]

I wtedy też trzeba jakoś sobie radzić.

Ale chcę teraz pomyśleć o czymś innym. Oglądnąłem dwa razy filmik o automatycznym dowodzeniu twierdzeń. Przeprowadzono tam dokładny (ale zbyt szybki dlatego nie zrozumiałem) dowód, że \(\displaystyle{ 2|n+n.}\) Dowód trochę zajął, i podkreślono wartość tego dowodu, że mając założenia, które tam były podane możemy być pewni tej otrzymanej tezy.
Wiadomo, że logika i teorii mnogości jest podstawą całej matematyki. Dobrze by było zatem żeby podstawy były pewne. A w dodatku pojęcia tych podstaw są czasem żmudne w zapisie, pojawiają się zbiory nieskończone, chyba mało kto chciałby to sprawdzać, byłoby to niewygodne. I dlatego może zdecydowano się na ściśle formalne podejście- wtedy mamy poprawność. Jest to może nawet trudniejsze zadanie, no ale dla profesora Marka Zaionca, który zajmuje się właśnie automatycznym dowodzeniem twierdzeń (i jest jednym (głównym ?) autorem teorii mnogości na ważniaku- pewnie by mi odpowiedział, że może każde twierdzenie tam prezentowane dowieść, i to formalnie jakbym bardzo chciał), Pan Profesor to zrobił zupełnie przy okazji( w swoich zainteresowaniach naukowych nie ma teorii mnogości, ani w pracach naukowych nie publikował na ten temat). Dzięki temu mamy poprawność podstaw matematyki (choć pewnie nie do końca). Chyba już rozumiem. No ale ważniak jest nieprzystępny.

A jak sobie radzą matematycy przy w pełni formalnym podejściu do teorii mnogości. krl, Pan pisał, że wtedy nie używamy skrótów dla formuł. To chyba nie ma znaczenia. Ważne żeby korzystać tylko z wcześniej zdefiniowanych formuł, rozpoczynając od formuł atomowych, po kolei żeby nie wyprzedzać materiału. A skróty- program zawsze je rozpisze do pełnej postaci- chyba to nie problem. Chyba w takim formalnym podejściu, to chyba ważne jest ( właściwie wszystko), ale autor ważniaka Pan Profesor Marek Zaionc, skupił się na logice i programowaniu w logice. I wtedy już się może nie zastanawiał dlaczego suma liniowych porządków na podzbiorach ustalonego zbioru \(\displaystyle{ X}\), takich, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków tej rodziny jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy suma takiej rodziny liniowych porządków jest liniowym porządkiem na swoim polu. A ja żem się zastanawiał, i dowód nie jest taki najprostszy...

Jak sobie radzą matematycy w formalnym podejściu do teorii mnogości. Niełatwa to wydaje się praca.

[adzik81]

Jak to Waszym zdaniem jest z tą logiką? Jaki jest jej obecny status?

Przy całym szacunku dla Marka Kordosa jako historyka matematyki wypada stwierdzić, że na logice i jej roli w matematyce po prostu się nie zna. Oczywiście, każdy ma prawo do własnego zdania. By pomóc je sobie wyrobić, proponuję samodzielne ćwiczenie: zbadać, ile ze słynnych problemów Hilberta zostało rozwiązanych dzięki zastosowaniu logiki matematycznej? To łatwo można wygooglować...
Odpowiadając na pytania w cytacie:
Logika w matematyce ma się dobrze.

Co do rozwiązanych problemów - czy chodzi pierwsze dwa problemy Hilberta?
Jeśli chodzi o pierwszy problem to Marek Kordos we wspomnianej książce paradoksalnie stwierdza, że wysiłki zmierzające do jego rozwiązania przyczyniły się do rozwoju teorii mnogości, która według Autora
"stała się ona powszechnie używanym narzędziem praktycznie całej matematyki" (str. 256)

Co do drugiego problemu Kordos określa uzyskane w tej materii wyniki jako klęska:

Formalizm rozwijał się bardzo bujnie i był już w latach dwudziestych dominującą doktryną uprawiania matematyki — sam Hilbert od 1917 roku pracował prawie wyłącznie w tym kierunku. Bo, mimo nakładu ludzkiej energii, zrealizowanie postulatu eleganckiego zaksjomatyzowania matematyki, niestety, nie przynosiło spodziewanych sukcesów. Co gorsza, z biegiem lat pojawiły się klęski. Była już mowa o niemożności dowodu niesprzeczności arytmetyki zgodnie z zasadami formalizmu (II problem Hilberta). Tenże Gódel, który był autorem tego rezultatu, wykazał w 1931 roku również niezupełność arytmetyki (i każdej teorii, w której arytmetykę można zinterpretować). Większość potrzebnych teorii nie spełniała więc dwóch spośród wymaganych warunków. W 1933 roku Thoralf Skolem (o którym już była mowa) i Leopold Lówenheim (1878; 1940) wykazali, że każda teoria (typu Pascha), która ma model nieskończony, ma model każdej nieskończonej mocy — kategoryczność może więc tylko mieć miejsce dla teorii dotyczących skończonych zbiorów (chyba że przez teorię będziemy rozumieli co innego niż Pasch). Z rozstrzygalnością okazało się, że jest to własność egzotyczna, tj. przysługująca bardzo nielicznym teoriom i na dodatek bardzo dziwnie względem siebie usytuowanych — np. arytmetyka liczb naturalnych rozstrzygalna nie jest, a liczb zespolonych — jest. Słowem, totalna klęska. str.281.

Zdaje się, że Autor krytykuje tu głównie formalizm i dążenie do zbudowania podstaw matematyki
w XX wieku, które ocierają się już chyba o filozofię. Ale czy jest coś złego w zadawaniu tego typu pytań i stawianie problemów, które w tamtych czasach zapewne uchodziły za całkiem normalne? Łatwo dokonuje się ocen post factum i przy tym ironizuje np. z konstruowania liczb:

Na przykład liczby naturalne konstruuje się tak: uzyskujemy 0, 1,2, 3,... jako 0 , {0 } , {0 ,|0 }}, {0 {0 {0 } } } , . . .
czyli przez tworzenie zbioru ze zbioru pustego i z tego, co było przedtem. Ale jeśli ktoś potrzebuje takiego upewnienia o istnieniu liczb naturalnych, to proszę bardzo. str. 284

Poza problemami Hilberta znalazłem też informację, że logika przyczyniła się do ożywienia tzw. infinitezymali w analizie niestandardowej.

Mimo więc, że nie udało się sprowadzić matematyki do logiki to sam rozwój logiki przyczynił się do spojrzenia na pewne matematyczne problemy na nowo.

[Slup]

Co do drugiego problemu Kordos określa uzyskane w tej materii wyniki jako klęska:
[...]
Zdaje się, że Autor krytykuje tu głównie formalizm i dążenie do zbudowania podstaw matematyki
w XX wieku, które ocierają się już chyba o filozofię. Ale czy jest coś złego w zadawaniu tego typu pytań i stawianie problemów, które w tamtych czasach zapewne uchodziły za całkiem normalne? Łatwo dokonuje się ocen post factum

Sam program Hilberta zakończył się porażką, więc Kordos stwierdza fakty. Możesz oczywiście nazywać stwierdzanie faktów historycznych "łatwą oceną post factum". Kordos nie twierdzi, że było coś złego w stawianiu tego typu pytań ani w samym programie Hilberta, a przynajmniej nie stwierdza tego w żadnym podanym przez Ciebie fragmencie. Po prostu program nie został i nigdy nie zostanie zrealizowany. Każdy historyk matematyki, który pisze o tym okresie, powinien to uwzględnić, bo to istotny fakt historyczny. Kordos zresztą bardzo pozytywnie wypowiada się na temat Hilberta w swojej książce. Jego stosunek do logiki jest również pozytywny. Szczególnie, że robił doktorat u Wandy Szmielew, która udowodniła rozstrzygalność teorii pierwszego rzędu grup abelowych i która sama robiła doktorat u A.Tarskiego.

i przy tym ironizuje np. z konstruowania liczb:

Na przykład liczby naturalne konstruuje się tak: uzyskujemy 0, 1,2, 3,... jako 0 , {0 } , {0 ,|0 }}, {0 {0 {0 } } } , . . .
czyli przez tworzenie zbioru ze zbioru pustego i z tego, co było przedtem. Ale jeśli ktoś potrzebuje takiego upewnienia o istnieniu liczb naturalnych, to proszę bardzo. str. 284

Jest to przykład skrajnie nienaturalnej konstrukcji najbardziej naturalnego obiektu matematycznego. Rozumiem Kordosa.

By pomóc je sobie wyrobić, proponuję samodzielne ćwiczenie: zbadać, ile ze słynnych problemów Hilberta zostało rozwiązanych dzięki zastosowaniu logiki matematycznej? To łatwo można wygooglować...

2 na dwadzieścia kilka. Ewentualnie 3.

Ile medali Fieldsa (przyznawane od 1936 matematykom przed 40-stką) uzyskano za wyniki, które dotyczyły podstaw matematyki?

1 za niez. HC i forsing . Przy ogólnej liczbie 60 medali.

[krl]

By pomóc je sobie wyrobić, proponuję samodzielne ćwiczenie: zbadać, ile ze słynnych problemów Hilberta zostało rozwiązanych dzięki zastosowaniu logiki matematycznej? To łatwo można wygooglować...

2 na dwadzieścia kilka. Ewentualnie 3.

Ja liczę, że 3, ewentualnie 3 i pół. Numery: 1, 2 , 10 i 17 (dowód teoriomodelowy). Zastosowania te są teoriomnogościowe (metoda forsingu, która bardzo się rozwinęła), teoriomodelowe (głównie w algebrze) oraz dotyczą (nie)rozstrzygalności różnego typu (jak wynik Matiasiewicza).
Poza tym, oczywiście logika to nie magiczna sztuczka, która pozwala wyciągać nowe twierdzenia jak królika z cylindra.
Ale już te przykłady wg mnie wskazują, że nieprawdą, jest, że "logika właściwie matematyce nigdy nie pomogła", jak pisze Kordos. Oczywiście, chodzi o logikę rozumianą szerzej niż tylko rachunek zdań czy predykatów.

[adzik81]

@Slup

Moje skromne zdanie odnośnie oceny post factum nie dotyczyło „porażki” programu Hilberta tylko podważanie przez Kordosa sensu budowania podstaw matematyki w ówczesnym czasie oraz krytyki formalizmu.
Czy Autor nie twierdzi, że było coś złego w zadawaniu pytań odnośnie podstaw matematyki? Oczywiście wprost tego nie robi. Ale już sama wzmianka o tym, że powstały różne szkoły metodologiczne, które były rezultatem tych badań i kolejne czytane fragmenty dają trochę do myślenia. Oto jeszcze garść cytatów (rozdział pt. „Otchłań pod stopami” wytłuszczenia moje).



Szkoły metodologicznej — to nie żart. Okazuje się bowiem, że stare ostrzeżenie, jakie matki dawały córkom, by się zbyt długo nie wpatrywały w lustro, gdyż zobaczą diabła, spełniło się w matematyce: tak długo matematycy przyglądali się swojej dyscyplinie, aż diabeł się pojawił i matematyka rozpadła się na różne szkoły metodologiczne, tak jak — nie przymierzając — historia.

Jedną z owych szkół był formalizm. Dalej Kordos pisze:

W tym świetle może sie wydać dziwne, że gdy przyszedłem na studia (lata pięćdziesiąte), na Uniwersytecie Warszawskim większość matematyków (a nie byli to byle jacy matematycy — dziś wystarczyłoby ich dla całej Polski i to z dużą górą) była z przekonań i ze sposobu wykładania formalistami. Oczywiście, w międzyczasie wyprodukowano inne rodzaje teorii formalnych (paschowskie nazwano teoriami pierwszego rzędu), ale to wiele sytuacji nie poprawiło. Dlaczego więc formalizm był w przewadze? Jedyne wyjaśnienie kryje się w niesamowitym wdzięku teorii, mówiącej o obiektach, które (żeby zacytować Hilberta) mogą być stołami, krzesłami i kuflami z piwem, jeśli tylko spełniają aksjomaty. Tak więc formaliści kupili większość matematyków na wizję matematyki, która dla matematyków jest bardzo dobrze określoną grą i tylko narzędziem dla całej reszty. Na wizję matematyki, której stosowalność w realnym świecie jest niezgłębioną i niezgłębialną tajemnicą.

Przypomnijmy sobie, na przykład, konstrukcję liczb całkowitych z naturalnych. Definiujemy dla par liczb naturalnych relację
(m,n) x (k,l) <=> m + / = n + k ,
która jest relacją równoważności i jej klasy abstrakcji nazywamy liczbami całkowitymi (ja wiem, że to okropne, ale jeśli chcemy mówić o podstawach matematyki, to rozmowa musi się toczyć w takim języku).

Niektóre czynności są dla dorosłego człowieka krępująco śmieszne. Na przykład liczby naturalne konstruuje się tak: uzyskujemy 0, 1,2, 3,... jako 0 , {0 } , {0 ,|0 }}, {0 {0 {0 } } } , . . .


Co do ostatniego fragmentu odnośnie konstrukcji liczb - też rozumiem Kordosa. Wszak to jego subiektywna opinia, z którą nie wszyscy się muszą zgadzać. Jeśli komuś nie odpowiada taka działka w matematyce to przecież nikt nikomu nie każe jej doceniać

Natomiast jeśli chodzi o „fakt” porażki programu Hilberta, czy jak pisze Kordos „totalnej klęski” to trzeba jeszcze zapytać, o który program podstaw matematyki chodzi. Czy ten pierwotny czy ten przebudowany w wyniku np. twierdzeń Godla? Jeśli chodzi o ten pierwszy to wszyscy są zgodni, że został on podważony i w tej formie był nie do zrealizowania. Ale mogę podać opinie innych matematyków czy logików, którzy powiedzą, że nie była to klęska. Wystarczy choćby poczytać prace Romana Murawskiego, Stanisława Krajewskiego czy Jana Woleńskiego w tym temacie, gdzie nie ma tam mowy o jakimś upadku, a w każdym razie trwa w tej kwestii nadal spór. A jeśli nie ma powszechnej zgody wśród specjalistów w tej kwestii to nie jest to żaden fakt historyczny. I dlatego nazywam to oceną post factum Marka Kordosa, do której ma on oczywiście prawo. Byłoby jednak mile widziane przez takiego czytelnika jak ja i pewnie wielu innych, którzy się tym zagadnieniem interesują, albo w tym siedzą, żeby nie drwili sobie z niektórych pomysłów choćby nawet ocierały się one o filozofię. Byłoby miło gdyby obyło się bez małych prześmiewczych wtrąceń.

A jaki jest stosunek Kordosa do logiki może zobaczyć każdy kto przeczyta artykuł, do którego wyżej podałem link.

[Jan Kraszewski]

A jaki jest stosunek Kordosa do logiki może zobaczyć każdy kto przeczyta artykuł, do którego wyżej podałem link.

Mam wrażenie, że ten artykuł dotyczy raczej stosunku do nauczania logiki w szkole. A to było faktycznie askuteczne, bo sprowadzało logikę do tabelek i magii znaczków.

JK

[Slup]

że nieprawdą, jest, że "logika właściwie matematyce nigdy nie pomogła", jak pisze Kordos. Oczywiście, chodzi o logikę rozumianą szerzej niż tylko rachunek zdań czy predykatów.

Problem 17 został rozwiązany przez E.Artina metodami algebraicznymi i potem wynik wzmocniono przy użyciu teorii modeli, więc go jednak nie liczę. Jeśli chodzi o trzy pozostałe problemy, to warto zauważyć, że problem 2 dotyczył niesprzeczności arytmetyki zaś problem 10 jest związany z teorią obliczalności, którą zgodnie ze współczesną klasyfikacją jest częścią szerzej pojętej logiki (i słusznie). Stąd wynika, że dwa spośród trzech problemów dotyczyły logiki i dobrze, że ona je własnymi metodami rozwiązała. Nie da się ukryć, że jakkolwiek jest przesada w wyżej wymienionej wypowiedzi Kordosa, to jednak nie można mu odmówić pewnej racji. Metody algebraiczne i analityczne mają bardzo duże zastosowanie w rozwiązywaniu klasycznych problemów geometrycznych, teorio-liczbowych i tych związanych z fizyką matematyczną. Algebraizacja pomogła też samej logice. W porównaniu do tego wkład podstaw matematyki do tych dziedzin klasycznej matematyki jest bardzo mały. Właściwie ogranicza się do stwierdzenia, że wszystko, co jest interesujące, można sformalizować w ZFC. Oczywiście logika ma olbrzymie zastosowania w informatyce, ale tego Kordos nie ukrywa.

Przy okazji osobiście uważam, że logika matematyczna jest bardzo piękna i pouczająca. Filozoficzne implikacje są olbrzymie. No i te zastosowania w informatyce...

Czy Autor nie twierdzi, że było coś złego w zadawaniu pytań odnośnie podstaw matematyki? Oczywiście wprost tego nie robi. Ale już sama wzmianka o tym, że powstały różne szkoły metodologiczne, które były rezultatem tych badań i kolejne czytane fragmenty dają trochę do myślenia.

Czyli jednak tego nie robi. Historyk matematyki ma obowiązek wspomnieć o tych szkołach metodologicznych. Może też stwierdzić, że podkopywały one jedność tej nauki i jest to stwierdzenie zgodne z prawdą. Na dowód wystarczy wspomnieć, że Hilbert uważał Brouwera za jednostkę na tyle niebezpieczną i szkodliwą, że doprowadził do usunięcia go ze składu edytorskiego Mathematische Annalen. Konflikt był bardzo intensywny i kryzys w podstawach matematyki był faktem. Kordos po prostu go barwnie i gawędziarsko opisuje.

Szkoły metodologicznej — to nie żart. Okazuje się bowiem, że stare ostrzeżenie, jakie matki dawały córkom, by się zbyt długo nie wpatrywały w lustro, gdyż zobaczą diabła, spełniło się w matematyce: tak długo matematycy przyglądali się swojej dyscyplinie, aż diabeł się pojawił i matematyka rozpadła się na różne szkoły metodologiczne, tak jak — nie przymierzając — historia.

Chodzi o to, że pojawiło się słowo "diabeł"?

Jedną z owych szkół był formalizm. Dalej Kordos pisze:

W tym świetle może sie wydać dziwne, że gdy przyszedłem na studia (lata pięćdziesiąte), na Uniwersytecie Warszawskim większość matematyków (a nie byli to byle jacy matematycy — dziś wystarczyłoby ich dla całej Polski i to z dużą górą) była z przekonań i ze sposobu wykładania formalistami. Oczywiście, w międzyczasie wyprodukowano inne rodzaje teorii formalnych (paschowskie nazwano teoriami pierwszego rzędu), ale to wiele sytuacji nie poprawiło. Dlaczego więc formalizm był w przewadze? Jedyne wyjaśnienie kryje się w niesamowitym wdzięku teorii, mówiącej o obiektach, które (żeby zacytować Hilberta) mogą być stołami, krzesłami i kuflami z piwem, jeśli tylko spełniają aksjomaty. Tak więc formaliści kupili większość matematyków na wizję matematyki, która dla matematyków jest bardzo dobrze określoną grą i tylko narzędziem dla całej reszty. Na wizję matematyki, której stosowalność w realnym świecie jest niezgłębioną i niezgłębialną tajemnicą.

Na co wskazuje ten fragment? Na to, że w latach 50-tych kadra na UW, którą Kordos ocenia jako wybitną, składała się z formalistów. Formaliści traktują matematykę jako rodzaj gry, która a priori nie odnosi się do materialnej rzeczywistości. Dwa fakty.

Przypomnijmy sobie, na przykład, konstrukcję liczb całkowitych z naturalnych. Definiujemy dla par liczb naturalnych relację
(m,n) x (k,l) <=> m + / = n + k ,
która jest relacją równoważności i jej klasy abstrakcji nazywamy liczbami całkowitymi (ja wiem, że to okropne, ale jeśli chcemy mówić o podstawach matematyki, to rozmowa musi się toczyć w takim języku).

Niektóre czynności są dla dorosłego człowieka krępująco śmieszne. Na przykład liczby naturalne konstruuje się tak: uzyskujemy 0, 1,2, 3,... jako 0 , {0 } , {0 ,|0 }}, {0 {0 {0 } } } , . . .


Co do ostatniego fragmentu odnośnie konstrukcji liczb - też rozumiem Kordosa. Wszak to jego subiektywna opinia, z którą nie wszyscy się muszą zgadzać. Jeśli komuś nie odpowiada taka działka w matematyce to przecież nikt nikomu nie każe jej doceniać

Czyli Ty też nie masz problemu z tym fragmentem.

Natomiast jeśli chodzi o „fakt” porażki programu Hilberta, czy jak pisze Kordos „totalnej klęski” to trzeba jeszcze zapytać, o który program podstaw matematyki chodzi. Czy ten pierwotny czy ten przebudowany w wyniku np. twierdzeń Godla?

Jeśli przebudowa polega na tym, że zmuszeni jesteśmy zrezygnować z realizacji większości programu, to inaczej rozumiemy ten termin. Ja to nazywam porażką. Mogę pójść na kompromis i nazwać to niepowodzeniem. Czy teraz się zgodzisz?

Wystarczy choćby poczytać prace Romana Murawskiego, Stanisława Krajewskiego czy Jana Woleńskiego w tym temacie, gdzie nie ma tam mowy o jakimś upadku, a w każdym razie trwa w tej kwestii nadal spór.

Ta dyskusja ma charakter filozoficzny, o czym chociażby świadczy skład osobowy, który wymieniasz. W matematyce rozstrzygnięcie nastąpiło na początku lat 30-tych. W matematyce zazwyczaj nie toczy się żadnych sporów. Poza tym Stanisław Krajewski to platonik a Jan Woleński to naturalista. Zapewne stąd ten spór.

A jaki jest stosunek Kordosa do logiki może zobaczyć każdy kto przeczyta artykuł, do którego wyżej podałem link.

Ten artykuł dotyczy nauczania klasycznego rachunku zdań w szkole. Chodzi w nim o dydaktykę. Konkluzja jest, że "[...]lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda. ". Kordos nie krytykuje w nim np. twierdzeń Skolema-Löwenheima.

[adzik81]

@Slup

Czyli jednak tego nie robi. Historyk matematyki ma obowiązek wspomnieć o tych szkołach metodologicznych. Może też stwierdzić, że podkopywały one jedność tej nauki i jest to stwierdzenie zgodne z prawdą.

Szkoły metodologiczne, które z jednej strony podkopywały jedność nauki a z drugiej inspirowały głębokie badania nad logiką i podstawami matematyki. Wystarczy tu wspomnieć o semantyce teoriomnogościowej Tarskiego, która dała początek teorii modeli. Logicyzm tu się kłania. Doktryna formalizmu zapoczątkowała teorię dowodu, a tzw. uogólniony program Hilberta uzyskał silny bodziec ze strony tzw. matematyki odwrotnej, które prowadzą do wniosku, że program ten może być częściowo zrealizowany. Relacje więc filozofii matematyki a podstawami matematyki były obustronne.

Już samo zdanie „Szkoły metodologicznej - to nie żart” świadczy o stosunku Autora do tych kierunków. Wytłuszczone przeze mnie zdania w cytowanych fragmentach też o czymś świadczą. Czyli jednak krytykuje.

Chodzi o to, że pojawiło się słowo "diabeł"?

Nie chodzi mi o diabła ale o całą metaforę, którą przytoczył Autor. A z metafory płynie m in. wniosek by nie przypatrywać się swojej dyscyplinie. Tu - matematyce.

Na co wskazuje ten fragment? Na to, że w latach 50-tych kadra na UW, którą Kordos ocenia jako wybitną, składała się z formalistów. Formaliści traktują matematykę jako rodzaj gry, która a priori nie odnosi się do materialnej rzeczywistości. Dwa fakty.

W jednym z poprzednich postów cytowałem fragment o formalizmie Hilberta – tam gdzie Kordos pisze o jego klęsce. Potem jest fragment, że wydaje się dziwne, że jak przyszedł na studia większość matematyków była formalistami. Jest więc krytyka formalizmu.

Czyli Ty też nie masz problemu z tym fragmentem.

W tym fragmencie wyraźnie wytłuszczyłem te zdania, które świadczą o jakiejś awersii Kordosa do podstaw matematyki.

Jeśli przebudowa polega na tym, że zmuszeni jesteśmy zrezygnować z realizacji większości programu, to inaczej rozumiemy ten termin. Ja to nazywam porażką. Mogę pójść na kompromis i nazwać to niepowodzeniem. Czy teraz się zgodzisz?

Poniżej zacytuję Murawskiego:

Wyniki Godła podważyły program Hiłberta. Czy go jednak obaliły? Na pytanie to nie można udzielić definitywnej i jednoznacznej odpowiedzi z tego prostego powodu, że sam program został sformułowany nie do końca precyzyjnie. Kluczowe dlań terminy takie jak „realny” , „idealny” „finitystyczny” itd. nie są precyzyjne i nigdy nie zostały przez Hiłberta ściśle zdefiniowane.
W związku z tym formułuje się rozmaite odpowiedzi. Tak więc twierdzi się,
że wyniki Godła obaliły program Hiłberta — por. na przykład Smoryński. Z drugiej strony formułuje się przeciwne opinie. Na przykład M. Detlefsen w twierdzi, że drugie twierdzenie Godła nie pociąga
za sobą obalenia propozycji Hiłberta, ponieważ zdanie sformalizowanego języka arytmetyki liczb naturalnych orzekające, że jest ona niesprzeczna, nie wyraża w istocie niesprzeczności w takim sensie, w jakim rozumiał ją Hilbert. Podobnie w Detlefsen broni tezy, że pierwsze twierdzenie Godła
Rozwój programu Hilberta nie pokazuje niemożliwości wykazania zachowawczości. Prowadzono też i nadal się prowadzi rozmaite szczegółowe badania związane z warunkami, jakie nakłada się na formuły, których używa się do formalnego wyrażenia metamatematycznej własności niesprzeczności. Nie możemy tu oczywiście wchodzić w bardzo skomplikowane szczegóły techniczne tych badań. Należy jednak zdecydowanie podkreślić, że program Hilberta w odniesieniu do sformalizowanego systemu arytmetyki nie musi oznaczać jego porażki w odniesieniu do elementarnej teorii liczb w sensie nieformalnym. Nie można bowiem wykluczyć możliwości, że tę ostatnią uda się sformalizować za pomocą systemu, który można ugruntować finitystycznie.

R. Murawski, Rozwój programu Hilberta
Artykuł można sobie wygooglać

A tu jeszcze podaję pracę Detlefsena - gdyby ktoś chciał zgłębić temat
M. Detlefsen, Hilbert’s Program. An essay on mathematical instrumentalism

Co do znaczeń powyższych terminów. To czy jest to porażka, totalna klęska czy częściowe niepowodzenie, może wynikać poniekąd z subiektywnych przemyśleń. Ale to nie jest fakt. Faktem jest np. sam program Hilberta, albo twierdzenia Godla o niezupełności. Czy była to klęska, porażka całkowita czy częściowa to jest już ocena. Ale nie miałbym tego za złe Kordosowi, gdyby odnośnie programu Hilberta i formalizmu odnotował chociaż niektóre te pozytywne rzeczy, o których pisałem wyżej.

Ta dyskusja ma charakter filozoficzny, o czym chociażby świadczy skład osobowy, który wymieniasz. W matematyce rozstrzygnięcie nastąpiło na początku lat 30-tych. W matematyce zazwyczaj nie toczy się żadnych sporów. Poza tym Stanisław Krajewski to platonik a Jan Woleński to naturalista. Zapewne stąd ten spór.

Dyskusja ma charakter przede wszystkim historyczny odnośnie programu Hilberta, jego podważenia przez Godla i konsekwencji z tym związanych. Poglądy filozoficzne nie mają tutaj nic do rzeczy i akurat wymienione przeze mnie osoby nie prowadzą między sobą sporu. Woleński jest filozofem i logikiem, Krajewski filozofem i matematykiem. Murawski - teologiem, filozofem, historykiem matematyki i przede wszystkim specjalistą w dziedzinie podstaw matematyki i logiki matematycznej. Naturalizm czy platonizm matematyczny nie mają tutaj nic do powiedzenia. Równie dobrze można powiedzieć, że ktoś może mieć inny pogląd na realizację programu Hilberta bo jest np. Żydem, ateistą lub chrześcijaninem.

Ten artykuł dotyczy nauczania klasycznego rachunku zdań w szkole. Chodzi w nim o dydaktykę.

Samo zdanie logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym mówi o stosunku Autora do tego przedmiotu. Wiem, że chodzi w nim o dydaktykę. Zapewne ktoś może jeszcze zapytać czy jest sens katować młodego człowieka innymi działami matematyki skoro nie widać w nich sensu, ani użytku. A przynajmniej nie widzi w nich sensu nie jeden uczeń. Ale przecież wierzymy, że nauka matematyki w szkole ma sens choćby w sposób niebezpośredni prawda? Może więc zamiast usuwania tego działu z nauczania szkolnego (jak chce Kordos) warto położyć nacisk na sposób jej nauczania albo rozszerzyć o stosowne informacje? W czasach młodości Tarskiego elementarne pojęcia logiczne takie jak aksjomat, reguła wnioskowania, dowód, teza, wynikanie logiczne, tautologia należały do kanonu wykształcenia na poziomie maturalnym i nikogo to nie raziło.

[Slup]

Szkoły metodologiczne, które z jednej strony podkopywały jedność nauki a z drugiej inspirowały głębokie badania nad logiką i podstawami matematyki. Wystarczy tu wspomnieć o semantyce teoriomnogościowej Tarskiego, która dała początek teorii modeli. Logicyzm tu się kłania. Doktryna formalizmu zapoczątkowała teorię dowodu, a tzw. uogólniony program Hilberta uzyskał silny bodziec ze strony tzw. matematyki odwrotnej, które prowadzą do wniosku, że program ten może być częściowo zrealizowany. Relacje więc filozofii matematyki a podstawami matematyki były obustronne.

Ależ ja się ze wszystkim zgadzam (i Marek Kordos pewno też). Uważam, że w program Hilberta został w skromnym stopniu zrealizowany (w końcu matematyka została sformalizowana w ZFC, można wykazać niesprzeczność prostych teorii przy użyciu "ubogich" metateorii, pewne proste teorie okazują się być rozstrzygalne). Wiem, że Kordos jako uczeń Wandy Szmielew darzy Tarskiego i teorię modeli wielkim szacunkiem. Natomiast moim zdaniem jeśli historyk matematyki pisze o tym, że na początku XX wieku nastąpił kryzys, który dotyczył podstaw matematyki, i podział części środowiska matematycznego względem pewnych stanowisk metodologicznych czy filozoficznych, to po prostu przedstawia fakty. Słowo "kryzys" jest w tej sytuacji raportem, a nie określeniem normatywnym. Jeśli chodzi o relacje między filozofią a podstawami matematyki, to Kordos przecież napisał:

Duże znaczenie, jakie logika matematyczna uzyskała w pierwszej połowie XX wieku, bierze się stąd, że postanowiła odpowiadać również na ontologiczne problemy matematyki (o czym będzie za chwilę mowa)

Już samo zdanie „Szkoły metodologicznej - to nie żart” świadczy o stosunku Autora do tych kierunków. Wytłuszczone przeze mnie zdania w cytowanych fragmentach też o czymś świadczą. Czyli jednak krytykuje.

Czyli jeśli napiszę, że "zdanie 'p' jest prawdziwe - to nie żart", to będzie to krytyka zdania "p". Niestety trudno mi się do tego odnieść. Żartobliwe uwagi o tym, jak na gruncie ZFC definiuje się klasyczne zbiory liczbowe, moim zdaniem o niczym nie świadczą.

Nie chodzi mi o diabła ale o całą metaforę, którą przytoczył Autor. A z metafory płynie m in. wniosek by nie przypatrywać się swojej dyscyplinie. Tu - matematyce.

Jasne. Taki właśnie płynie stąd wniosek. Nie chodzi zupełnie o to, że autor jest gawędziarzem i żartownisiem.

W jednym z poprzednich postów cytowałem fragment o formalizmie Hilberta – tam gdzie Kordos pisze o jego klęsce. Potem jest fragment, że wydaje się dziwne, że jak przyszedł na studia większość matematyków była formalistami. Jest więc krytyka formalizmu.

Autor pisze, że "w tym świetle może się wydawać dziwne". W poprzedniej części opowiada o wynikach Gödla z lat 30-tych, więc teraz czuje potrzebę wyjaśnić czytelnikowi, dlaczego to dziwne nie jest, chociaż może na podstawie tego, co przed chwilą napisał, się takie wydawać.

Jedyne wyjaśnienie kryje się w niesamowitym wdzięku teorii, mówiącej o obiektach, które (żeby zacytować Hilberta) mogą być stołami, krzesłami i kuflami z piwem, jeśli tylko spełniają aksjomaty. Tak więc formaliści kupili większość matematyków na wizję matematyki, która dla matematyków jest bardzo dobrze określoną grą i tylko narzędziem dla całej reszty. Na wizję matematyki, której stosowalność w realnym świecie jest niezgłębioną i niezgłębialną tajemnicą.

Używa przy tym zwrotów : niesamowity wdzięk teorii, niezgłębiona tajemnica. Nie jest to krytyka formalizmu i rekompensuje diabła oraz żarty z konstrukcji von Neumanna (czy kogoś tam innego).

Myślę, że do porozumienia w kwestii tego, czym zakończył się program Hilberta nie dojdziemy. To forum zniesie każdy wywód filozoficzny. Również ten

Należy jednak zdecydowanie podkreślić, że program Hilberta w odniesieniu do sformalizowanego systemu arytmetyki nie musi oznaczać jego porażki w odniesieniu do elementarnej teorii liczb w sensie nieformalnym. Nie można bowiem wykluczyć możliwości, że tę ostatnią uda się sformalizować za pomocą systemu, który można ugruntować finitystycznie.

Nie można bowiem wykluczyć wielu rzeczy i to również należy zdecydowanie podkreślić. Nie da się wykluczyć, że istnieją niekonserwatywne rozszerzenia Arytmetyki Presburgera (chociaż może się da, nie jestem specjalistą), które formalizują elementarną teorię liczb i są dobrze ugruntowane. Nie da się też wykluczyć, że będę żył 150 lat.

Jeśli chodzi o Woleńskiego i Krajewskiego to oczywiście nie zgadzają się oni w kwestii ontologii (matematyki). Jeśli nawiązują do programu Hilberta, to przecież historyczny kształt tego procesu jest dobrze znany, więc jedyne dyskusje jakie się mogą toczyć dotyczą jego oceny w kontekście filozofii matematyki. Naturaliści ontologiczni, którzy chyba skazani są na stanowisko formalistyczne, mają pewien problem (nie twierdzę, że duży ani bardzo poważny) w związku z "podważeniem" programu Hilberta. Natomiast idealiści typu platońskiego nie mają z tym problemu, bo przecież dla nich obiekty idealne (np. hierarchia kumulatywna) są tak samo realne jak te czasoprzestrzenne.

Dziękuję. To była miła pogawędka na bardzo dobrym poziomie. Ja nie mam już nic do dodania w sprawie książki Kordosa. W mojej ocenie jest rzetelna i nie deprecjonuje logiki.