Rozwiązać równanie różniczkowe.

[Big_Boss1997]

Witam! Proszę o pomoć w rozwiązaniu tego równania. Z jakiej metody muszę korzystać?

\(\displaystyle{ y' = \frac{x}{y} + \frac{1+x}{1+y}}\)

[Premislav]

Na pewno dobrze to przepisałeś? I ogólnie w jakim kontekście to równanie się pojawiło?
Bo wygląda na trochę trudne (albo to ja już tyle zapomniałem z równań różniczkowych).

[janusz47]

Równanie jednokładności.

Podstawienie

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = u.}\)

[Big_Boss1997]

janusz47, możesz wyjaśnić, jak doprowadzić do postaci, gdy mogę skorzystać z tego?

[janusz47]

To jest równanie różniczkowe zwyczajne I rzędu - nieliniowe.

Przedstawił bym jego lewą stronę w postaci sumy trzech ułamków

\(\displaystyle{ y' = \frac{x}{y} + \frac{x+1}{y+1}}\)

\(\displaystyle{ y' = \frac{2xy + x +y }{y(y+1)}= \frac{xy +xy +x + y}{y(y+1)} = \frac{xy +x(y+1)+y}{y(y+1)} = \frac{x}{y+1} + \frac{x}{y} + \frac{1}{y+1}.}\)

[Jan Kraszewski]

Nie żebym się czepiał, ale wydaje mi się, że przejście

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{x+1}{y+1}=\frac{x}{y+1} + \frac{x}{y} + \frac{1}{y+1}}\)

nie wymaga kroków pośrednich...

JK

[Premislav]

Co więcej, to przejście nic tutaj nie daje. Wykonywałem także podstawienie zaproponowane przez janusza47 i nie zbliżyło mnie to do rozwiązania. No cóż, przeżyję bez tego, to nie moje zadanie. :s

[janusz47]

Ze znakiem plus wygląda na równanie różniczkowe I rzędu nieliniowe -numeryczne.

Czy nie powinno być

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{x}{y}\cdot \frac{1+x}{1+y}?}\)