Równania różniczkowe pierwszego rzędu

[borowek]

Witam mam do rozwiązania kilka równań, ale kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać, co robić itd.
1. \(\displaystyle{ y' = - \frac{y}{x}}\)
2. \(\displaystyle{ y \cdot \frac{dy}{dx} + x = 1}\)
3. \(\displaystyle{ y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0}\)
4. \(\displaystyle{ xy'-y= y^{2}}\)
Rozwiązać równanie różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne zględem \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\):
5. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+ \frac{y}{x}=2, y(1)=2}\)
6. \(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x}=e ^{ \frac{y}{x} }}\)
7. \(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x} = ({\sin \frac{y}{x}})^{2}}\)
Zupełnie nie wiem jak to ugryźć, byłbym wdzięczy, gdyby ktoś mógł np rozwiązać po 1 przykładzie i wytłumaczyć po krótce.

[Premislav]

Bierzesz książkę Palczewskiego i zbiór zadań Matwiejewa (są tam też rozwiązane przykłady), a jak za trudna to Skoczylasa któregoś albo KW drugi tom, i jedziesz, od przepisywania za bardzo się nie nauczysz. No ale cóż, lubię liczyć.

1)
\(\displaystyle{ y' = - \frac{y}{x}\\ y' x+y=0\\(xy)'=0\\ xy=C\\ y=\frac{C}{x}}\)

2)
\(\displaystyle{ y \frac{dy}{dx} + x = 1\\ y\frac{dy}{dx}=1-x\\ \frac{y^2}{2}=x-\frac{x^2}{2}+C}\)
To jest rozwiązanie w postaci uwikłanej, można z tego zrobić
\(\displaystyle{ y=\pm \sqrt{2x-x^2+2C}}\), ale można się jeszcze zastanowić, czy da się w jakimś punkcie skleić te postaci tak, by wyszła funkcja różniczkowalna (choć zwykle pomija się takie rozważania).

3)
\(\displaystyle{ y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0\\ \frac{y}{1-y}dy+\frac{x}{1+x}dx=0\\ -y-\ln|1-y|+x-\ln|1+x|=C}\)
Tu raczej nic mądrego nie zrobimy, jest to rozwiązanie w postaci uwikłanej.

4)
\(\displaystyle{ xy'-y=y^2\\ \frac{y'}{y+y^2}=\frac 1 x\\ \ln|y|-\ln|y+1|=\ln|x|+C\\ \frac{y}{y+1}=C_1 x\\ y=\frac{C_1 x}{1-C_1 x}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C_1}\) to dowolna stała (dałem ten indeks, bo to nie ta sama, co \(\displaystyle{ C}\)).


5)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+ \frac{y}{x}=2, y(1)=2}\)
Mnożymy przez \(\displaystyle{ x}\) i mamy:
\(\displaystyle{ x\frac{dy}{dx}+y=2x\\\frac{d}{dx}\left(xy \right) =2x\\ xy=x^2+C\\ y=x+\frac{C}{x}}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) i korzystając z warunku \(\displaystyle{ y(1)=2}\), mamy
\(\displaystyle{ y(1)=1+C\\ 2=1+C\\C=1}\)
i ostatecznie rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ y=x+\frac 1 x}\)

6)

\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x}=e ^{ \frac{y}{x} }}\)
Tutaj (poprzednio też można było tak postąpić, ale IMHO na siłę) podstawy \(\displaystyle{ y=ux}\), gdzie \(\displaystyle{ u}\) jest funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x}\). Dostajemy:
\(\displaystyle{ xu'+u-u=e^u\\ u'e^{-u}=\frac 1 x\\-e^{-u}=\ln |x|+C\\ u=-\ln(-\ln|x|-C)\\ y=ux=-x\ln(-\ln|x|-C)}\)

7)

\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{x} = \left({\sin \frac{y}{x}}\right)^{2}}\)
Tutaj nie ma niespodzianki, również podstawiamy \(\displaystyle{ y=ux}\) (warto zapamiętać to podstawienie).
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ xu'+u-u=\sin^2 u\\ \frac{u'}{\sin^2 u}=\frac 1 x\\-\ctg u=\ln|x|+C\\ -\ctg\left( \frac y x\right)=\ln|x|+C\\ \ctg\left( \frac y x\right)+\ln|x|+C=0}\)
i szczerze w takiej postaci bym to zostawił, bo nie zawsze jest \(\displaystyle{ \arcctg(\ctg t)=t}\). Można to sobie rozwikłać na odpowiednim kawałku dziedziny, w zależności od potrzeb.

[Rozbitek]

3)
\(\displaystyle{ y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0\\ \frac{y}{1-y}dy+\frac{x}{1+x}dx=0}\)

Nie rozumiem tego przejścia, mógłbyś wyjaśnić?

3)
\(\displaystyle{ -y-\ln|1-y|+x-\ln|1+x|=C}\)
Tu raczej nic mądrego nie zrobimy, jest to rozwiązanie w postaci uwikłanej.

Na nas profesor krzyczy, że to nie jest żadne rozwiązanie w postaci uwikłanej, tylko całka równania różniczkowego.

[Premislav]

Nie rozumiem tego przejścia, mógłbyś wyjaśnić?

Podzieliłem sobie stronami przez \(\displaystyle{ (1+x)(1-y)}\) (właściwie to ten zapis jest dość nieformalny). Jak ktoś tak nie lubi, to zostają metody z tego wątku, warto je znać: 362662.htm

Na nas profesor krzyczy, że to nie jest żadne rozwiązanie w postaci uwikłanej, tylko całka równania różniczkowego.

Why not both? Każde rozwiązanie równania różniczkowego to całka równania różniczkowego. Zresztą mniejsza, nie będę się kłócić o nazewnictwo (choć jak pamiętam mnie tak uczono), ja równania różniczkowe zdałem dawno temu, rzadko korzystam, możliwe, że jakieś nazwy przekręcam.

[Rozbitek]

Premislav, dzięki.

Każde rozwiązanie równania różniczkowego to całka równania różniczkowego.

Ale odwrotnie już nie i może o to chodzi. Albo profesor lubi się czepiać.